Четные квадраты строить намного сложнее, чем нечетные. Существует множество способов, объясняющих принципы их построения. В этой статье описан увлекательный способ построения магического квадрата 4 х 4.
Начинаем с того, что в крайнюю левую ячейку верхнего ряда вписываем единицу. Двойка располагается в соседней ячейке, а цифры 3 и 4 в последующих. Таким обратом, верхний ряд будет закончен. В следующем ряду вписываются цифры 5, 6, 7 и 8.
Продолжайте, пока не заполните все ячейки (рис. 1).
Рис.1
Затем во всех крайних рядах нужно убрать по два числа из центральных ячеек, то есть и верхнем ряду убираются числа 2 и 3, а в нижнем - 14 и 15. Наконец, в левом крайнем ряду убираются числа 5 и 9, а в правом крайнем - 8 и 12 (рис. 2).
Рис.2 Теперь эти числа можно расположить довольно интересным способом. Числа 2 и 3 занимают ячейки, в которых до этого находились числа 14 и 15. Таким образом, нижний ряд будет состоять из чисел 13,3,2 и 16. По тому же принципу располагаются и числа 14 и 15, то есть они занимают те ячейки, в которых до этого находились числа 2 и 3. В результате верхний ряд будет состоять из чисел 1,15,14 и 4. Надеюсь, вы уже понимаете, как магический квадрат будет строиться дальше. Числа 8 и 12 займут те ячейки, в которых до этого были числа 5 и 9. Наконец, числа 5 и 9 вписываются в две ячейки в крайней правой колонке (рис. 3).
Рис.3 Обратите внимание, что в этом магическом квадрате сумма чисел любого ряда равняется 34.
Таким же способом можно создать квадрат 4*4, просто последовательно расположив шестнадцать чисел, начиная с любого числа. Если построите магический квадрат, где числа будут идти в последовательности 3, 6, 9, 12 и т. д., то вы увидите, что сумма чисел любого ряда будет равняться 102.
Существует множество способов построения четных магических квадратов. Некоторые из них очень сложны, трудоемки и интересны только математикам. К счастью, способ создания магических квадратов янтры, основанный на дате рождения, прост до невозможности.
Введение
Великие ученые древности считали количественные отношения основой сущности мира. Поэтому числа и их соотношения занимали величайшие умы человечества. «В дни моей юности я в свободное время развлекался тем, что составлял… магические квадраты»- писал Бенджамин Франклин. Магический квадрат- это квадрат, сумма чисел которого в каждом горизонтальном ряду, в каждом вертикальном ряду и по каждой из диагоналей одна и та же.
Некоторые выдающиеся математики посвятили свои работы магическим квадратам и полученные ими результаты оказали влияние на развитие групп, структур, латинских квадратов, определителей, разбиений, матриц, сравнений и других нетривиальных разделов математики.
Цель настоящего реферата - знакомство с различными магическими квадратами, латинскими квадратами и изучение областей их применения.
Магические квадраты
Полного описания всех возможных магических квадратов не получено и до сего времени. Магических квадратов 2х2 не существует. Существует единственный магический квадрат 3х3, так как остальные магические квадраты 3х3 получаются из него либо поворотом вокруг центра, либо отражением относительно одной из его осей симметрии.
Расположить натуральные числа от 1 до 9 в магический квадрат 3х3 можно 8 различными способами:
- 9+5+1
- 9+4+2
- 8+6+2
- 8+5+2
- 8+4+3
- 7+6+2
- 7+5+3
- 6+5+4
В магическом квадрате 3х3 магической постоянной 15 должны быть равны сумме трех чисел по 8 направлениям: по 3 строкам, 3 столбцам и 2 диагоналям. Так как число, стоящее в центре, принадлежит 1 строке, 1 столбцу и 2 диагоналям, оно входит в 4 из 8 троек, дающих в сумме магическую постоянную. Такое число только одно: это 5. Следовательно, число, стоящее в центре магического квадрата 3х3, уже известно: оно равно 5.
Рассмотрим число 9. Оно входит только в 2 тройки чисел. Мы не можем поместить его в угол, так как каждая угловая клетка принадлежит 3 тройкам: строке, столбцу и диагонали. Следовательно, число 9 должно стоять в какой-то клетке, примыкающей к стороне квадрата в ее середине. Из-за симметрии квадрата безразлично, какую из сторон мы выберем, поэтому пишем 9 над числом 5, стоящим в центральной клетке. По обе стороны от девятки в верхней строке мы можем вписать только числа 2 и 4. Какое из этих двух чисел окажется в правом верхнем углу и какое в левом, опять - таки не имеет значения, так как одно расположение чисел переходит в другое при зеркальном отражении. Остальные клетки заполняются автоматически. Проведенное нами простое построение магического квадрата 3х3 доказывает его единственность.
Такой магический квадрат был у древних китайцев символом огромного значения. Цифра 5 в середине означала землю, а вокруг нее в строгом равновесии располагались огонь (2 и 7), вода (1 и 6),
дерево (3 и 8), металл (4 и 9).
С увеличением размеров квадрата (числа клеток) быстро растет количество возможных магических квадратов такого размера. Существует 880 магических квадратов порядка 4 и 275 305 224 магических квадратов порядка 5. Причем, квадраты 5х5 были известны еще в средние века. Мусульмане, например, очень благоговейно относились к таким квадратом с цифрой 1 в середине, считая его символом единства Аллаха.
Магический квадрат Пифагора
Великий ученый Пифагор, основавший религиозно - философское учение, провозгласившее количественные отношения основой сущности вещей, считал, что сущность человека заключается тоже в числе - дате рождения. Поэтому с помощью магического квадрата Пифагора можно познать характер человека, степень отпущенного здоровья и его потенциальные возможности, раскрыть достоинства и недостатки и тем самым выявить, что следует предпринять для его совершенствования.
Для того, чтобы понять, что такое магический квадрат Пифагора и как подсчитываются его показатели, сделаю его расчет на своем примере. А чтобы убедиться, что результаты подсчета действительно соответствуют реальному характеру той или иной личности, вначале я проверю его на себе. Для этого я буду делать расчет по своей дате рождения. Итак, моя дата рождения 20.08.1986. Сложим цифры дня, месяца и года рождения (без учета нулей): 2+8+1+9+8+6=34. Далее складываем цифры результата: 3+4=7. Затем из первой суммы вычитаем удвоенную первую цифру дня рождения: 34-4=30. И вновь складываем цифры последнего числа:
3+0=3. Осталось сделать последние сложения - 1-й и 3-й и 2-й и 4-й сумм: 34+30=64, 7+3=10. Получили числа 20.08.1986,34,7,30, 64,10.
и составляем магический квадрат так, чтобы все единицы этих чисел вошли в ячейку 1, все двойки - в ячейку 2 и т. д. Нули при этом во внимание не принимаются. В результате мой квадрат будет выглядеть следующим образом:
Ячейки квадрата означают следующее:
Ячейка 1 - целеустремленность, воля, упорство, эгоизм.
- 1 - законченные эгоисты, стремятся из любого положения извлечь максимальную выгоду.
- 11 - характер, близкий к эгоистическому.
- 111 - «золотая середина». Характер спокойный, покладистый, коммуникабельный.
- 1111 - люди сильного характера, волевые. Мужчины с таким характером подходят на роль военных - профессионалов, а женщины держат свою семью в кулаке.
- 11111 - диктатор, самодур.
- 111111 - человек жестокий, способный совершить невозможное; нередко попадает под влияние какой - то идеи.
Ячейка 2 - биоэнергетика, эмоциональность, душевность, чувственность. Количество двоек определяет уровень биоэнергетики.
Двоек нет - открыт канал для интенсивного набора биоэнергетики. Эти люди воспитаны и благородны от природы.
- 2 - обычные в биоэнергетическом отношении люди. Такие люди очень чувствительны к изменениям в атмосфере.
- 22 - относительно большой запас биоэнергетики. Из таких людей получаются хорошие врачи, медсестры, санитары. В семье таких людей редко у кого бывают нервные стрессы.
- 222 - знак экстрасенса.
Ячейка 3 - точность, конкретность, организованность, аккуратность, пунктуальность, чистоплотность, скупость, наклонность к постоянному «восстановлению справедливости».
Нарастание троек усиливает все эти качества. С ними человеку есть смысл искать себя в науках, особенно точных. Перевес троек порождает педантов, людей в футляре.
Ячейка 4 - здоровье. Это связано с экгрегором, то есть энергетическим пространством, наработанным предками и защищающим человека. Отсутствие четверок свидетельствует о болезненности человека.
- 4 - здоровье среднее, необходимо закалять организм. Из видов спорта рекомендуются плавание и бег.
- 44 - здоровье крепкое.
- 444 и более - люди с очень крепким здоровьем.
Ячейка 5 - интуиция, ясновидение, начинающееся проявляться у таких людей уже на уровне трех пятерок.
Пятерок нет - канал связи с космосом закрыт. Эти люди часто
ошибаются.
- 5 - канал связи открыт. Эти люди могут правильно рассчитать ситуацию извлечь из нее максимальную пользу.
- 55 - сильно развита интуиция. Когда видят «вещие сны», могут предугадывать ход событий. Подходящие для них профессии - юрист, следователь.
- 555 - почти ясновидящие.
- 5555 - ясновидящие.
Ячейка 6 - заземленность, материальность, расчет, склонность к количественному освоению мира и недоверие к качественным скачкам и тем более к чудесам духовного порядка.
Шестерок нет - этим людям необходим физический труд, хотя они его, как правило, не любят. Они наделены неординарным воображением, фантазией, художественным вкусом. Тонкие натуры, они тем не менее способны на поступок.
- 6 - могут заниматься творчеством или точными науками, но физический труд является обязательным условием существования.
- 66 - люди очень заземлены, тянутся к физическому труду, хотя как раз для них он не обязателен; желательна умственная деятельность либо занятия искусством.
- 666 - знак Сатаны, особый и зловещий знак. Эти люди обладают повышенным темпераментом, обаятельны, неизменно становятся в обществе центром внимания.
- 6666 - эти люди в своих предыдущих воплощениях набрали слишком много заземленности, они очень много трудились и не представляют свою жизнь без труда. Если в их квадрате есть
девятки, им обязательно нужно заниматься умственной деятельностью, развивать интеллект, хотя бы получить высшее образование.
Ячейка 7 - количество семерок определяет меру таланта.
- 7 - чем больше они работают, тем больше получают впоследствии.
- 77 - очень одаренные, музыкальные люди, обладают тонким художественным вкусом, могут иметь склонность к изобразительному искусству.
- 777 - эти люди, как правило, приходят на Землю ненадолго. Они добры, безмятежны, болезненно воспринимают любую несправедливость. Они чувствительны, любят мечтать, не всегда чувствуют реальность.
- 7777 - знак Ангела. Люди с таким знаком умирают в младенчестве, а если и живут, то их жизни постоянно угрожает опасность.
Ячейка 8 - карма, долг, обязанность, ответственность. Количество восьмерок определяет степень чувства долга.
Восьмерок нет - у этих людей почти полностью отсутствует чувство долга.
- 8 - натуры ответственные, добросовестные, точные.
- 88 - у этих людей развитое чувство долга, их всегда отличает желание помочь другим, особенно слабым, больным, одиноким.
- 888 - знак великого долга, знак служения народу. Правитель с тремя восьмерками добивается выдающихся результатов.
- 8888 - эти люди обладают парапсихологическими способностями и исключительной восприимчивостью к точным наукам. Им открыты сверхъестественные пути.
Ячейка 9 - ум, мудрость. Отсутствие девяток - свидетельство того, что умственные способности крайне ограничены.
- 9 - эти люди должны всю жизнь упорно трудиться, чтобы восполнить недостаток ума.
- 99 - эти люди умны от рождения. Учатся всегда неохотно, потому что знания даются им легко. Они наделены чувством юмора с ироничным оттенком, независимые.
- 999 - очень умны. К учению вообще не прикладывают никаких усилий. Прекрасные собеседники.
- 9999 - этим людям открывается истина. Если у них к тому же развита интуиция, то они гарантированы от провала в любом из своих начинаний. При всем этом они, как правило, довольно приятны, так как острый ум делает их грубыми, немилосердными и жестокими.
Итак, составив магический квадрат Пифагора и зная значение всех комбинаций цифр, входящих в его ячейки, вы сможете в достаточной мере оценить те качества вашей натуры, которыми наделила матушка - природа.
Латинские квадраты
Не смотря на то, что математиков интересовали в основном магические квадраты наибольшее применение в науке и технике нашли латинские квадраты.
Латинским квадратом называется квадрат nхn клеток, в которых написаны числа 1, 2,…, n, притом так, что в каждой строке и каждом столбце встречаются все эти числа по одному разу. На рис.3 изображены два таких квадрата 4х4. Они обладают интересной особенностью: если один квадрат наложить на другой, то все пары получившихся чисел оказываются различными. Такие пары латинских квадратов называются ортогональными.
Задачу отыскания ортогональных латинских квадратов впервые поставил Л. Эйлер, причём в такой занимательной формулировке: “ Среди 36 офицеров поровну уланов, драгунов, гусаров, кирасиров, кавалергардов и гренадеров и кроме того поровну генералов, полковников, майоров, капитанов, поручиков и подпоручиков, причем каждый род войск представлен офицерами всех шести рангов. Можно ли выстроить всех офицеров в каре 6 х 6 так, чтобы в любой колонне и любой шеренге встречались офицеры всех рангов?”
Эйлер не смог найти решения этой задачи. В 1901 г. было доказано, что такого решения не существует. В то же время Эйлер доказал, что ортогональные пары латинских квадратов существуют для всех нечетных значений n и для таких четных значений n, которые делятся на 4. Эйлер выдвинул гипотезу, что для остальных значений n, то есть если число n при делении на 4 даст в остатке 2, ортогональных квадратов не существует. В 1901 г. было доказано, что ортогональных квадратов 6 6 не существует, и это усиливало уверенность в справедливости гипотезы Эйлера. Однако в 1959 г. помощью ЭВМ были найдены сначала ортогональные квадраты 10х10, потом 14х14, 18х18, 22х22. А затем было показано, что для любого n , кроме 6, существуют ортогональные квадраты nхn.
Магические и латинские квадраты - близкие родственники. Пусть мы имеем два ортогональных квадрата. Заполним клетки нового квадрата тех же размеров следующим образом. Поставим туда число n(a - 1)+b, где а - число в такой клетке первого квадрата, а b - число в такой же клетке второго квадрата. Нетрудно понять, что в полученном квадрате суммы чисел в строках и столбцах (но не обязательно на диагоналях) будут одинаковы.
Теория латинских квадратов нашла многочисленные применения как в самой математике, так и в ее приложениях. Приведем такой пример. Пусть мы хотим испытать 4 сорта пшеницы на урожайность в данной местности, причем хотим учесть влияние степени разреженности посевов и влияние двух видов удобрений. Для того разобьем квадратный участок земли на 16 делянок (рис.4). Первый сорт пшеницы посадим на делянках, соответствующих нижней горизонтальной полосе, следующий сорт - на четырех делянках, соответствующих следующей полосе, и т. д. (на рисунке сорт обозначен цветом). При этом максимальная густота посевов пусть будет на тех делянках, которые соответствуют левому вертикальному столбцу рисунка, и уменьшается при переходе вправо (на рисунке этому соответствует уменьшение интенсивности цвета). Цифры же, стоящие в клетках рисунка, пусть означают:
первая - количество килограммов удобрения первого вида, вносимого на этот участок, а вторая - количество вносимого удобрения второго вида. Нетрудно понять, что при этом реализованы все возможные пары сочетаний как сорта и густоты посева, так и других компонентов: сорта и удобрений первого вида, удобрений первого и второго видов, густоты и удобрений второго вида.
Использование ортогональных латинских квадратов помогает учесть все возможные варианты в экспериментах в сельском хозяйстве, физике, химии, технике.
квадрат магический пифагор латинский
Заключение
В настоящем реферате рассмотрены вопросы, связанные с историей развития одного из вопросов математики, занимавшего умы очень многих великих людей, - магических квадратов. Несмотря на то, что собственно магические квадраты не нашли широкого применения в науке и технике, они подвигли на занятия математикой множество незаурядных людей и способствовали развитию других разделов математики (теории групп, определителей, матриц и т.д.).
Ближайшие родственники магических квадратов - латинские квадраты нашли многочисленные применения как в математике, так и в ее приложениях при постановке и обработке результатов экспериментов. В реферате приведен пример постановки такого эксперимента.
В реферате также рассмотрен вопрос о квадрате Пифагора, представляющем исторический интерес и, возможно, полезном для составления психологического портрета личности.
Список литературы
- 1. Энциклопедический словарь юного математика. М., «Педагогика», 1989г.
- 2. М. Гарднер «Путешествие во времени», М., «Мир», 1990г.
- 3. Физкультура и спорт № 10, 1998г.
Маги́ческий , или волше́бный квадра́т - квадратная таблица n × n {\displaystyle n\times n} , заполненная различными числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова. Если в квадрате равны суммы чисел только в строках и столбцах, то он называется полумагическим . Нормальным называется магический квадрат, заполненный натуральными числами от 1 {\displaystyle 1} до n 2 {\displaystyle n^{2}} . Магический квадрат называется ассоциативным или симметричным , если сумма любых двух чисел, расположенных симметрично относительно центра квадрата, равна n 2 + 1 {\displaystyle n^{2}+1} .
Нормальные магические квадраты существуют для всех порядков n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} , за исключением n = 2 {\displaystyle n=2} , хотя случай n = 1 {\displaystyle n=1} тривиален - квадрат состоит из одного числа. Минимальный нетривиальный случай показан ниже, он имеет порядок 3.
| 2 | 7 | 6 | 15 | |||
| 9 | 5 | 1 | → {\displaystyle \rightarrow } | 15 | ||
| 4 | 3 | 8 | → {\displaystyle \rightarrow } | 15 | ||
| ↙ {\displaystyle \swarrow } | ↓ {\displaystyle \downarrow } | ↓ {\displaystyle \downarrow } | ↘ {\displaystyle \searrow } | |||
| 15 | 15 | 15 | 15 | 15 |
Сумма чисел в каждой строке, столбце и на диагоналях называется магической константой, M . Магическая константа нормального волшебного квадрата зависит только от n и определяется формулой
M (n) = n (n 2 + 1) 2 {\displaystyle M(n)={\frac {n(n^{2}+1)}{2}}}Почему это так? |
|
|---|---|
Пусть имеется квадрат со стороной n . {\displaystyle n.} Тогда в нём будет n 2 {\displaystyle n^{2}} чисел. С одной стороны, сумма чисел S = 1 + 2 + 3 + … + n 2 = n 2 2 (n 2 + 1) . {\displaystyle S=1+2+3+\ldots +n^{2}={\cfrac {n^{2}}{2}}(n^{2}+1).} С другой стороны, S = n M . {\displaystyle S=nM.} Приравняв, получим искомую формулу. |
|
Первые значения магических констант приведены в следующей таблице (последовательность A006003 в OEIS):
| Порядок n | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| M (n) | 15 | 34 | 65 | 111 | 175 | 260 | 369 | 505 | 671 | 870 | 1105 |
Энциклопедичный YouTube
1 / 5
✪ Магический квадрат - фокус для вечеринок
✪ Квадрат Паркера
✪ Страница 35 Задание на полях (первый квадрат) – Математика 3 класс Моро – Учебник Часть 1
✪ Магический квадрат - новый метод
✪ Магические квадраты. Открытое занятие.
Субтитры
Исторически значимые магические квадраты
Квадрат Ло Шу
Магический квадрат Ян Хуэя (Китай)
| 27 | 29 | 2 | 4 | 13 | 36 |
| 9 | 11 | 20 | 22 | 31 | 18 |
| 32 | 25 | 7 | 3 | 21 | 23 |
| 14 | 16 | 34 | 30 | 12 | 5 |
| 28 | 6 | 15 | 17 | 26 | 19 |
| 1 | 24 | 33 | 35 | 8 | 10 |
Квадрат Альбрехта Дюрера
Магический квадрат 4×4, изображённый на гравюре Альбрехта Дюрера «Меланхолия I », считается самым ранним в европейском искусстве. Два средних числа в нижнем ряду указывают дату создания гравюры ().
| 16 | 3 | 2 | 13 |
| 5 | 10 | 11 | 8 |
| 9 | 6 | 7 | 12 |
| 4 | 15 | 14 | 1 |
Сумма чисел на любой горизонтали, вертикали и диагонали равна 34. Эта сумма также встречается во всех угловых квадратах 2×2, в центральном квадрате (10+11+6+7), в квадрате из угловых клеток (16+13+4+1), в квадратах, построенных «ходом коня» (2+12+15+5 и 3+8+14+9), в вершинах прямоугольников, параллельных диагоналям (2+8+15+9 и 3+12+14+5), в прямоугольниках, образованных парами средних клеток на противоположных сторонах (3+2+15+14 и 5+8+9+12). Большинство дополнительных симметрий связано с тем, что сумма любых двух центрально симметрично расположенных чисел равна 17.
Квадраты Генри Э. Дьюдени и Аллана У. Джонсона-мл.
Если в квадратную матрицу n × n заносится не строго натуральный ряд чисел, то данный магический квадрат - нетрадиционный . Ниже представлены два таких магических квадрата, заполненные простыми числами (хотя 1 в современной теории чисел не считается простым числом). Первый имеет порядок n=3 (квадрат Дьюдени); второй (размером 4x4 ) - квадрат Джонсона. Оба они были разработаны в начале двадцатого столетия :
|
|
Есть еще несколько подобных примеров:
| 17 | 89 | 71 |
| 113 | 59 | 5 |
| 47 | 29 | 101 |
| 1 | 823 | 821 | 809 | 811 | 797 | 19 | 29 | 313 | 31 | 23 | 37 |
| 89 | 83 | 211 | 79 | 641 | 631 | 619 | 709 | 617 | 53 | 43 | 739 |
| 97 | 227 | 103 | 107 | 193 | 557 | 719 | 727 | 607 | 139 | 757 | 281 |
| 223 | 653 | 499 | 197 | 109 | 113 | 563 | 479 | 173 | 761 | 587 | 157 |
| 367 | 379 | 521 | 383 | 241 | 467 | 257 | 263 | 269 | 167 | 601 | 599 |
| 349 | 359 | 353 | 647 | 389 | 331 | 317 | 311 | 409 | 307 | 293 | 449 |
| 503 | 523 | 233 | 337 | 547 | 397 | 421 | 17 | 401 | 271 | 431 | 433 |
| 229 | 491 | 373 | 487 | 461 | 251 | 443 | 463 | 137 | 439 | 457 | 283 |
| 509 | 199 | 73 | 541 | 347 | 191 | 181 | 569 | 577 | 571 | 163 | 593 |
| 661 | 101 | 643 | 239 | 691 | 701 | 127 | 131 | 179 | 613 | 277 | 151 |
| 659 | 673 | 677 | 683 | 71 | 67 | 61 | 47 | 59 | 743 | 733 | 41 |
| 827 | 3 | 7 | 5 | 13 | 11 | 787 | 769 | 773 | 419 | 149 | 751 |
Последний квадрат, построенный в 1913 г. Дж. Н. Манси примечателен тем, что он составлен из 143 последовательных простых чисел за исключением двух моментов: привлечена единица, которая не является простым числом, и не использовано единственное чётное простое число 2.
Квадраты с дополнительными свойствами
Дьявольский магический квадрат
Дьявольский квадрат или пандиагональный квадрат - магический квадрат, в котором также с магической константой совпадают суммы чисел по ломаным диагоналям (диагонали, которые образуются при сворачивании квадрата в тор) в обоих направлениях.
Существует 48 дьявольских квадратов 4×4 с точностью до поворотов и отражений. Если принять во внимание ещё и симметрию относительно торических параллельных переносов , то остаётся только 3 существенно различных квадрата:
|
|
|
Пандиагональные квадраты существуют для нечётного порядка n>3, для любого порядка двойной чётности n=4k (k=1,2,3…) и не существуют для порядка одинарной чётности n = 4 k + 2 {\displaystyle n=4k+2} ( k = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle k=1,2,3,\dots } ).
Пандиагональные квадраты четвёртого порядка обладают рядом дополнительных свойств, за которые их называют совершенными . Совершенных квадратов нечётного порядка не существует. Среди пандиагональных квадратов двойной чётности выше 4 имеются совершенные.
Пандиагональных квадратов пятого порядка 3600. С учётом торических параллельных переносов имеется 144 различных пандиагональных квадратов. Один из них показан ниже.
| 1 | 15 | 24 | 8 | 17 |
| 9 | 18 | 2 | 11 | 25 |
| 12 | 21 | 10 | 19 | 3 |
| 20 | 4 | 13 | 22 | 6 |
| 23 | 7 | 16 | 5 | 14 |
Если пандиагональный квадрат еще и ассоциативный, то он носит название идеальный . Пример идеального магического квадрата:
| 21 | 32 | 70 | 26 | 28 | 69 | 22 | 36 | 65 |
| 40 | 81 | 2 | 39 | 77 | 7 | 44 | 73 | 6 |
| 62 | 10 | 51 | 58 | 18 | 47 | 57 | 14 | 52 |
| 66 | 23 | 34 | 71 | 19 | 33 | 67 | 27 | 29 |
| 4 | 45 | 74 | 3 | 41 | 79 | 8 | 37 | 78 |
| 53 | 55 | 15 | 49 | 63 | 11 | 48 | 59 | 16 |
| 30 | 68 | 25 | 35 | 64 | 24 | 31 | 72 | 20 |
| 76 | 9 | 38 | 75 | 5 | 43 | 80 | 1 | 42 |
| 17 | 46 | 60 | 13 | 54 | 56 | 12 | 50 | 61 |
Известно, что не существует идеальных магических квадратов порядка n = 4k+2 и квадрата порядка n = 4 . В то же время, существуют идеальные квадраты порядка n = 8 . Методом построения составных квадратов можно построить на базе данного квадрата восьмого порядка идеальные квадраты порядка n = 8k, k=5,7,9… и порядка n = 8^p, p=2,3,4… В 2008 г. разработан комбинаторный метод построения идеальных квадратов порядка n = 4k, k = 2, 3, 4,…
Построение магических квадратов
Метод террас
Описан Ю. В. Чебраковым в «Теории магических матриц» .
Для заданного нечетного n начертим квадратную таблицу размером n на n. Пристроим к этой таблице со всех четырех сторон террасы (пирамидки). В результате получим ступенчатую симметричную фигуру.
|
Начиная с левой вершины ступенчатой фигуры, заполним её диагональные ряды последовательными натуральными числами от 1 до N 2 {\displaystyle N^{2}} .
После этого для получения классической матрицы N-го порядка числа, находящиеся в террасах, поставим на те места таблицы размером NxN, в которых они оказались бы, если перемещать их вместе с террасами до того момента, пока основания террас не примкнут к противоположной стороне таблицы.
|
|
Кроме того, данный способ является верным и в том случае, если магический квадрат нужно составить не из чисел от 1 до N, но и от K до N, где 1 <= K< N.
Прочие способы
Правила построения магических квадратов делятся на три категории в зависимости от того, каков порядок квадрата: нечетен, равен удвоенному нечетному числу или равен учетверенному нечетному числу. Общий метод построения всех квадратов неизвестен, хотя широко применяются различные схемы. Найти все магические квадраты порядка n {\displaystyle n} удается только для n ≤ 4 {\displaystyle n\leq 4} , поэтому представляют большой интерес частные процедуры построения магических квадратов при n > 4 {\displaystyle n>4} . Проще всего конструкция для магического квадрата нечетного порядка. Нужно в клетку с координатами (i , j) {\displaystyle (i,j)} (где i {\displaystyle i} и j {\displaystyle j} меняются от 1 до n {\displaystyle n} ) поставить число
1 + ((i + j − 1 + (n − 1) / 2) mod n) n + ((i + 2 j + 2) mod n) . {\displaystyle 1+((i+j-1+(n-1)/2){\bmod {n}})n+((i+2j+2){\bmod {n}}).} [ ]Ещё проще построение выполнить следующим образом. Берётся матрица n x n . Внутри её строится ступенчатый ромб. В нём ячейки слева вверх по диагоналям заполняются последовательным рядом нечётных чисел. Определяется значение центральной ячейки C. Тогда в углах магического квадрата значения будут такими: верхняя правая ячейка C-1 ; нижня левая ячейка C+1 ; нижняя правая ячейка C-n; верхняя левая ячейка C+n. Заполнение пустых ячеек в ступенчатых угловых треугольниках ведётся с соблюдением простых правил: 1)по строкам числа слева направо увеличиваются с шагом n + 1; 2) по столбцам сверху вниз числа увеличиваются с шагом n-1.
Также разработаны алгоритмы построения пандиагональных квадратов, и идеальных магических квадратов 9x9. Эти результаты позволяют строить идеальные магические квадраты порядков n = 9 (2 k + 1) {\displaystyle n=9(2k+1)} для k = 0 , 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle k=0,1,2,3,\dots } . Существуют также общие методы компоновки идеальных магических квадратов нечётного порядка n > 3 {\displaystyle n>3} . Разработаны методы построения идеальных магических квадратов порядка n=8k, k=1,2,3… и совершенных магических квадратов. Пандиагональные и идеальные квадраты четно-нечётного порядка удаётся скомпоновать лишь в том случае, если они нетрадиционные. Тем не менее, можно находить почти пандиагональные квадраты Найдена особая группа идеально-совершенных магических квадратов (традиционных и нетрадиционных) .
Примеры более сложных квадратов
Методически строго отработаны магические квадраты нечётного порядка и порядка двойной чётности. Формализация квадратов порядка одинарной чётности намного труднее, что иллюстрируют следующие схемы:
|
|
|
Существуют несколько десятков других методов построения магических квадратов
ХIII научно-практическая конференция школьников
«Магические квадраты»
Ученицы 8 «А» класса
ПТП лицея
Шолоховой Анны
Руководитель Анохина М.Н.
История создания моей работы………………………………………………2
Магический квадрат.......................................................................3
Исторически значимые магические квадраты...................4-5
КВАДРАТ, НАЙДЕННЫЙ В КХАДЖУРАХО(ИНДИЯ).........6
Магический квадрат Ян Хуэя (Китай).........................................7
Квадрат Альбрехта Дюрера...........................................................8
Квадраты Генри Э. Дьюдени и Аллана У. Джонсона-мл.....9
Дьявольский магический квадрат.........................................10-11
ПРАВИЛА ПОСТРОЕНИЯ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ.....12
СОСТАВЛЕНИЕ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ......................13-15
Создание магического квадрата Альбрехта Дюрера. .....17-18
Судоку............................................................................................19-21 Какуро............................................................................................22-23
БАНК ЗАДАЧ..................................................................24-25
Выводы................................................................................26 Литература...........................................................................27
История создания моей работы .
Раньше я даже не задумывалась, что такое можно придумать. Первый раз магические квадраты встретились мне в первом классе в учебнике, они были самые простые.| 7 | ||
| 8 | 0 | |
| 5 |
Через несколько лет с родителями я поехала на море познакомилась с девочкой, которая увлекалась судоку. Мне тоже захотелось научиться, и она объяснила, как это делать. Это занятие мне очень понравилось, и оно стало моим так называемым хобби.
После того как мне предложили участвовать в научно-практической конференции, я сразу выбрала тему «Магические квадраты». В этой работу я включила исторический материал, разновидности, правила создания игру-загадку.
Магический квадрат.
Магические квадраты существуют для всех порядков, за исключением n=2, хотя случай n=1 тривиален - квадрат состоит из одного числа.
Сумма чисел в каждой строке, столбце и на диагоналях. Называется магической константой , М. Магическая константа нормального волшебного квадрата зависит только от n и определяется формулой.
| Порядок n | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| М(n) | 15 | 34 | 65 | 111 | 175 | 260 | 369 | 505 | 671 | 870 | 1105 |
Первые значения магических констант приведены в следующих таблице.
Исторически значимые магические квадраты.
В китайской древней книге «Же-ким» («Книга перестановок») приводится легенда о том, что император Ню, живший 4 тысячи лет назад, увидел на берегу реки священную черепаху. На её панцире был изображен рисунок из белых и черных кружков(рис.1). Если заменить каждую фигуру числом, показывающим сколько в ней кружков, получится таблица.
| 4 | 9 | 2 |
| 3 | 5 | 7 |
| 8 | 1 | 6 |
У этой таблицы есть замечательное свойство. Сложим числа первого столбца: 4+3+8=15.тот же результат получится при сложении чисел второго, а так же третьего столбцов. Он же получается при сложении чисел любой из трех строк. Мало этого, тот же ответ 15 получается, если сложить числа каждой из двух диагоналей: 4+5+6=8+5+2=15.
Наверное, эту легенду китайцы придумали, когда нашли расположение чисел от 1 до 9 со столь замечательным свойством. Рисунок они назвали «ло-шу» и стали считать его магическим символом и употреблять при заклинаниях. Поэтому сейчас любую квадратную таблицу, составленную из чисел и обладающую таким свойством, называют магическим квадратом.
Рис.1
КВАДРАТ, НАЙДЕННЫЙ В КХАДЖУРАХО(ИНДИЯ).
Самый ранний уникальный магический квадрат обнаружен в надписи ХI века в индийском городе Кхаджурахо.
Это первый магический квадрат, относящийся к разновидности так называемых «дьявольских» квадратов.
Магический квадрат Ян Хуэя (Китай)
В XIII веке математик Ян Хуэй занялся проблемой методов построения магических квадратов. Его исследования были, потом продолжены другими китайскими математиками. Ян Хуэй рассматривал магические квадраты не только третьего, но и больших порядков.
Некоторые из его квадратов были достаточно сложны, однако он всегда давал правила для их построения. Он сумел построить магический квадрат шестого порядка.
Сумма чисел на любой горизонтали, вертикали и диагонали равна 34 . Эта сумма также встречается во всех угловых квадратах 2х2, в центральном квадрате (10+11+6+7), в квадрате из угловых клеток (16+13+4+1), в квадратах, построенных «ходом коня» (2+8+9+15 и 3+5+12+14), прямоугольниках, образованных парами средних клеток на противоположных сторонах (3+2+15+14 и 5+8+9+12).Большинство дополнительных симметрий связано с тем, что сумма любых двух центрально симметрично расположенных чисел равна 17.
Квадраты Генри Э. Дьюдени и Аллана У. Джонсона-мл.
Если в квадратную матрицу n х n заносится нестрого натуральный ряд чисел, то данный магический квадрат - нетрадиционный. Ниже представлены два таких магических квадрата, заполненные в основном простыми числами. Первый (рис.3) имеет порядок n=3 (квадрат Дьюдени); второй (рис.4) (размером 4х4)- квадрат Джонсона. Оба они были разработаны в начале двадцатого столетия.
Рис.3 рис.4
Дьявольский магический квадрат
Секрет игры «Магический квадрат»
Уверена, вы где-то слышали такое словосочетание, как «магический квадрат». Нам известны несколько представителей этого «племени». Самый распространённый и часто встречающийся в интернете - это так называемая игра «Магический квадрат». Суть её заключается в том, что вашему вниманию предлагается таблица (это и есть «магический квадрат»), которая способна «угадывать мысли». Естественно, что, как и у любой игры, у нее есть определённые правила. Необходимо задумать любое двузначное число, а затем вычесть из него сумму, состоящую из цифр этого числа. Отыскать полученное значение в таблице вместе с символом, ему соответствующим. И как раз этот символ и отгадывает квадрат. Игра забавная и, на первый взгляд, действительно магическая, потому что какое бы число вы не загадывали первоначально - квадрат всегда угадывает символ. Как это получается? Как работает «магический квадрат»? На самом деле ответ лежит на поверхности. Если проверять квадрат несколько раз подряд, то можно заметить, что все время выпадает один и тот же символ. При более внимательном рассмотрении таблицы видно, что этот символ расположен по горизонтали и ему соответствуют цифры, без остатка делящиеся на 9. Впрочем, только они и получаются в вашем ответе, какое бы двузначное число вы не выбрали. Можно сказать, что мы разоблачили «магический квадрат». Секрет заключается не столько в нем, сколько в условиях игры. Дело в том, что есть такая неоспоримая истина, которая гласит: «Если из любого двузначного числа вычесть сумму его цифр, получится число, без остатка делящееся на 9». Вот мы и выяснили, как работает «магический квадрат». Ни грамма мистики! Хотя в принципе, все, что связанно с цифрами, основано на вычислениях и закономерностях, а никак не на волшебстве.
Секрет магического квадрата:
| 7 | t | 41 | k | 86 | h | 21 | n | 33 | w | 1 | p | 35 | r | 61 | p | 12 | w | 90 | a |
| 15 | h | 23 | z | 57 | v | 55 | q | 71 | d | 66 | h | 78 | g | 14 | q | 81 | a | 10 | t |
| 88 | d | 59 | j | 74 | n | 69 | b | 68 | m | 38 | i | 22 | m | 72 | a | 3 | v | 58 | m |
| 62 | l | 77 | m | 40 | c | 98 | u | 20 | s | 94 | m | 63 | a | 87 | t | 99 | m | 37 | x |
| 92 | s | 96 | g | 51 | f | 73 | e | 46 | i | 54 | a | 53 | s | 44 | h | 43 | k | 2 | d |
| 34 | o | 31 | e | 91 | t | 19 | i | 45 | a | 50 | k | 85 | v | 28 | s | 38 | l | 75 | v |
| 79 | h | 8 | c | 11 | s | 36 | a | 16 | f | 24 | z | 4 | q | 67 | m | 6 | f | 48 | o |
| 17 | p | 65 | w | 27 | a | 42 | p | 89 | e | 39 | s | 95 | x | 32 | f | 25 | d | 26 | h |
| 29 | c | 18 | a | 82 | k | 60 | o | 93 | r | 83 | y | 52 | k | 56 | p | 53 | i | 30 | y |
| 9 | a | 80 | q | 47 | d | 84 | l | 5 | g | 13 | x | 70 | d | 49 | g | 76 | c | 64 | e |
Магический квадрат Альбрехта Дюрера
Иногда цифровые закономерности приобретают такие невероятные масштабы, что, кажется, без колдовства здесь не обошлось. Так, например, известен ещё один «магический квадрат» - Альбрехта Дюрера. В математике под ним понимают квадратную таблицу с одинаковым количеством строк и столбцов, заполненную натуральными числами. Причём, сумма этих чисел по горизонтали, вертикали или диагонали должна равняться одному и тому же результату. Магический квадрат пришёл к нам из Китая, сегодня мы все знаем его яркого представителя - кроссворд «Судоку». В Европе первым «волшебную» фигуру изобразил именно Дюрер на своей гравюре «Меланхолия». В чем же уникальность этого «магического квадрата»? В своём основании он имеет сочетание цифр 15 и 14, что соответствует году издания гравюры. А сумма цифр складывается не только из строк по диагонали, вертикали и горизонтали, но и из цифр, стоящих по углам квадрата, в центральном маленьком квадрате и в каждом из четырёхклеточных квадратов по его сторонам. Эти фигуры не предсказывают судьбу и не угадывают мысли, они уникальны именно своими закономерностями.
Квадрат Пифагора
Если же обратиться к гаданиям, то и здесь есть свой представитель - «магический квадрат» Пифагора. Всем нам известно такое имя из уроков геометрии. Но только в наше время этого человека начали называть математиком и философом. В древности же он был известен как учитель мудрости, о нем слагались стихи и пелись оды, ему поклонялись, считали провидцем. Пифагор основал новую науку - нумерологию, в прежние времена она воспринималась как религия.
Он считал, что цифры могут объяснить практически каждое явление, в том числе и определить судьбу человека, рассказать о его характере, талантах и слабостях. Это можно было сделать при помощи квадрата Пифагора. Как работает «магический квадрат» и что из себя представляет? Магический квадрат Пифагора - это квадрат 3/3 (строки, столбцы), в который внесены цифры от 1 до 9. За основу предсказания берётся дата рождения человека. Важно, что «0» в расчётах не фигурирует. С помощью нехитрых вычислений и формул получается набор цифр, который впоследствии необходимо вписать в квадрат. Каждое число имеет своё значение и отвечает за определённое свойство. Так, 4 «отвечает» за здоровье, а 9 - за ум. В зависимости от того, сколько раз в вашем квадрате встречается одна и та же цифра, можно сказать о преобладании того или иного свойства. Так, например, отсутствие 4 - показатель физической слабости и болезненности, а 444 - богатырское здоровье и жизнерадостность. Насколько правдив квадрат Пифагора, сложно сказать, как, впрочем, и любое гадание. Зато теперь, зная, как работает магический квадрат, вы, как минимум, сможете приятно скоротать часок-другой, рассчитывая характеры своих друзей и знакомых.