Как отмечено в предыдущем разделе, изучение классических алгоритмов во многих случаях может быть проведено с помощью асимптотических методов математической статистики, в частности, с помощью ЦПТ и методов наследования сходимости . Отрыв классической математической статистики от нужд прикладных исследований проявился, в частности, в том, что в распространенных монографиях недостает математического аппарата, необходимого, в частности, для изучения двухвыборочных статистик. Суть в том, что переходить к пределу приходится не по одному параметру, а по двум – объемам двух выборок. Пришлось разработать соответствующую теорию – теорию наследования сходимости, изложенную в нашей монографии .
Однако применять результаты подобного изучения придется при конечных объемах выборок. Возникает целый букет проблем, связанных с таким переходом. Часть из них обсуждалась в в связи с изучением свойств статистик, построенных по выборкам из конкретных распределений.
Однако при обсуждении влияния отклонений от исходных предположений на свойства статистических процедур возникают дополнительные проблемы. Какие отклонения считать типичными? Ориентироваться ли на наиболее "вредные" отклонения, в наибольшей степени искажающие свойства алгоритмов, или же сосредоточить внимание на "типичных" отклонениях?
При первом подходе получаем гарантированный результат, но "цена" этого результата может быть излишне высокой. В качестве примера укажем на универсальное неравенство Берри-Эссеена для погрешности в ЦПТ . Совершенно справедливо подчеркивает А.А. Боровков , что "скорость сходимости в реальных задачах, как правило, оказывается лучше."
При втором подходе возникает вопрос, какие отклонения считать "типичными". Попытаться ответить на этот вопрос можно, анализируя большие массивы реальных данных. Вполне естественно, что ответы различных исследовательских групп будут различаться, как это видно, например, по результатам, приведенным в статье .
Одна из ложных идей - использование при анализе возможных отклонений только какого-либо конкретного параметрического семейства – распределений Вейбулла-Гнеденко, трехпараметрического семейства гамма - распределений и др. Еще в 1927 г. акад. АН СССР С.Н. Бернштейн обсуждал методологическую ошибку, состоящую в сведении всех эмпирических распределений к четырехпараметрическому семейству Пирсона . Однако и до сих пор параметрические методы статистики весьма популярны, особенно среди прикладников, и вина за это заблуждение лежит прежде всего на преподавателях статистических методов (см. ниже, а также статью ).
15. Выбор одного из многих критериев для проверки конкретной гипотезы
Во многих случаях для решения конкретной практической задачи разработано много методов, и специалист по математическим методам исследования стоит перед проблемой: какой из них предложить прикладнику для анализа конкретных данных?
В качестве примера рассмотрим задачу проверки однородности двух независимых выборок. Как известно , для ее решения можно предложить массу критериев: Стьюдента, Крамера-Уэлча, Лорда, хи - квадрат, Вилкоксона (Манна-Уитни), Ван – дер - Вардена, Сэвиджа, Н.В.Смирнова, типа омега-квадрат (Лемана-Розенблатта), Г.В.Мартынова и др. Какой выбрать?
Естественным образом приходит в голову идея "голосования": провести проверку по многим критериям, а затем принять решение "по большинству голосов". С точки зрения статистической теории такая процедура приводит попросту к построению еще одного критерия, который априори ничем не лучше прежних, но более труден для изучения. С другой стороны, если совпадают решения по всем рассмотренным статистическим критериям, исходящим из различных принципов, то в соответствии с концепцией устойчивости это повышает доверие к полученному общему решению.
Распространено, особенно среди математиков, ложное и вредное мнение о необходимости поиска оптимальных методов, решений и т.д. Дело в том, что оптимальность обычно исчезает при отклонении от исходных предпосылок. Так, среднее арифметическое в качестве оценки математического ожидания является оптимальной только тогда, когда исходное распределение - нормальное , в то время как состоятельной оценкой - всегда, лишь бы математическое ожидание существовало. С другой стороны, для любого произвольно взятого метода оценивания или проверки гипотез обычно можно так сформулировать понятие оптимальности, чтобы рассматриваемый метод стал оптимальным – с этой специально выбранной точки зрения. Возьмем, например, выборочную медиану как оценку математического ожидания. Она, разумеется, оптимальна, хотя и в другом смысле, чем среднее арифметическое (оптимальное для нормального распределения). А именно, для распределения Лапласа выборочная медиана является оценкой максимального правдоподобия, а потому оптимальной (в смысле, уточненном в монографии ).
Критерии однородности были проанализированы в монографии . Естественных подходов к сравнению критериев несколько - на основе асимптотической относительной эффективности по Бахадуру, Ходжесу-Леману, Питмену. И выяснилось, что каждый критерий является оптимальным при соответствующей альтернативе или подходящем распределении на множестве альтернатив. При этом математические выкладки обычно используют альтернативу сдвига, сравнительно редко встречающуюся в практике анализа реальных статистических данных (в связи с критерием Вилкоксона эта альтернатива обсуждалась и критиковалась нами в ). Итог печален - блестящая математическая техника, продемонстрированная в , не позволяет дать рекомендации для выбора критерия проверки однородности при анализе реальных данных. Другими словами, с точки зрения работы прикладника, т.е. анализа конкретных данных, монография бесполезна. Блестящее владение математикой и огромное трудолюбие, продемонстрированные автором этой монографии, увы, ничего не принесли практике.
Конечно, каждый практически работающий статистик так или иначе решает для себя проблему выбора статистического критерия. На основе ряда методологических соображений мы остановили свой выбор на состоятельном против любой альтернативы критерии типа омега-квадрат (Лемана-Розенблатта). Однако остается чувство неудовлетворенности в связи с недостаточной обоснованностью этого выбора.
480 руб. | 150 грн. | 7,5 долл. ", MOUSEOFF, FGCOLOR, "#FFFFCC",BGCOLOR, "#393939");" onMouseOut="return nd();"> Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут , круглосуточно, без выходных и праздников
Колодзей Александр Владимирович. Асимптотические свойства критериев согласия для проверки гипотез в схеме выбора без возвращения, основанных на заполнении ячеек в обобщенной схеме размещения: диссертация... кандидата физико-математических наук: 01.01.05.- Москва, 2006.- 110 с.: ил. РГБ ОД, 61 07-1/496
Введение
1 Энтропия и информационное расстояние 36
1.1 Основные определения и обозначения 36
1.2 Энтропия дискретных распределений с ограниченным математическим ожиданием 39
1.3 Логарифмическая обобщенная метрика на множестве дискретных распределений 43
1.4 Компактность функций от счетного множества аргументов. 46
1.5 Непрерывность информационного расстояния Кульбака - Лейблера - Санова 49
1.6 Выводы 67
2 Вероятности больших уклонений 68
2.1 Вероятности больших уклонений функций от числа ячеек с заданным заполнением 68
2.1.1 Локальная предельная теорема 68
2.1.2 Интегральная предельная теорема 70
2.1.3 Информационное расстояние и вероятности больших уклонений разделимых статистик 75
2.2 Вероятности больших уклонений разделимых статистик, не удовлетворяющих условию Крамера 81
2.3 Выводы 90
3 Асимптотические свойства критериев согласия 92
3.1 Критерии согласия для схемы выбора без возвращения. 92
3.2 Асимптотическая относительная эффективность критериев согласия 94
3.3 Критерии, основанные на числе ячеек в обобщенных схемах размещения 95
3.4 Выводы 98
Заключение 99
Литература 103
Введение к работе
Объект исследования и актуальность темы. В теории статистического анализа дискретных последовательностей особое место занимают критерии согласия для проверки, возможно, сложной нулевой гипотезы, которая заключается в том, что для случайной последовательности pQ)?=i такой, что
Хі Є Ім,і= 1,...,n, Ім = {о, і,..., M}, для любых і = 1,..., п, и для любого к Є їм вероятность события {Хі = к} не зависит от г. Это означает, что последовательность (Хі)f =1 в некотором смысле стационарна.
В ряде прикладных задач в качестве последовательности (Х{) =1 рассматривается последовательность цветов шаров при выборе без возвращения до исчерпания из урны, содержащей rik - 1 > 0 шаров цвета к, к Є їм-Будем обозначать множество таких выборок Т(п 0 - 1, ...,пд/ - 1). Пусть всего в урне содержится п - 1 шаров, м n-l= (n fc -l).
Обозначим через г (к) _ r (fc) r (fc) последовательность номеров шаров цвета к в выборке. Рассмотрим последовательность h« = (^,...,)). M fc) =ri fc) , ^ = ^-^ = 2,...,^-1, _ (fc)
Последовательность h^ определена при помощи расстояний между местами соседних шаров цвета к таким образом, что *Ф = п.
Совокупность последовательностей h(fc) для всех к Є їм однозначно определяет последовательность (Х{)^ =1 . Последовательности h k для разных к зависимы между собой. В частности, любая из них однозначно определяется всеми остальными. Если мощность множества 1м равна 2, то последовательность цветов шаров однозначно определяется последовательностью h() расстояний между местами соседних шаров одного фиксированного цвета. Пусть в урне, содержащей п - 1 шаров двух различных цветов, находится N - 1 шар цвета 0. Можно установить взаимнооднозначное соответствие между множеством M(N-l,n - N) и множеством 9\ Пі м векторов h(n, N) = (hi,..., /i#) с положительными целочисленными компонентами таких, что
Множество 9\ п,м соответствует множеству всех различных разбиений целого положительного числа п на N упорядоченных слагаемых.
Задав на множестве векторов 9Я п д некоторое вероятностное распределение, мы получим соответствующее вероятностное распределение на множестве Wl(N - l,n - N). Множество У\ п,ы является подмножеством множества 2J n ,iv векторов с неотрицательными целочисленными компонентами, удовлетворяющими (0.1). В качестве вероятностных распределений на множестве векторов ЯЗ п д в диссертационной работе будут рассматриваться распределения вида
Р{%, N) = (г ь..., r N)} = Р{& = г„, и = 1,..., N\ & = п}, (0.2) где 6 > , лг - независимые неотрицательные целочисленные случайные величины.
Распределения вида (0.2) в /24/ получили название обобщенных схем размещения п частиц но N ячейкам. В частности, если случайные величины ь... ,лг в (0.2) распределены по законам Пуассона с параметрами Аі,...,Алг соответственно, то вектор h(n,N) имеет полиномиальное распределение с вероятностями исходов
Ри = т--~т~> ^ = 1,---,^-
Лі + ... + л^
Если случайные величины i> >&v в (0.2) одинаково распределены по геометрическому закону V{Zi = k}= P k - 1 (l-p),k=l,2,..., где р - любое в интервале 0
Как отмечалось в /14/,/38/, особое место при проверке гипотез о распределении векторов частот h(n, N) = (hi,..., h^) в обобщенных схемах размещения п частиц по N ячейкам, занимают критерии, построенные на основе статистик вида ад%,ло) = Л(и (о.з)
Фк «%,%..;$, (0.4) где /j/, v = 1,2,... и ф - некоторые действительнозначные функции,
Мг= Е 1{К = г}, г = 0,1,.... 1/=1
Величины // г в /27/ были названы числом ячеек, содержащих ровно по г частиц.
Статистики вида (0.3) в /30/ получили название разделимых (аддитивно разделимых) статистик. Если функции /„ в (0.3) не зависят от и, то такие статистики были названы в /31/ симметричными разделимыми статистиками.
Для любого г статистика /х г является симметричной разделимой статистикой. Из равенства
ДМ = ДФг (0.5) следует, что класс симметричных разделимых статистик от h u совпадает с классом линейных функций от fi r . При этом класс функций вида (0.4) шире класса симметричных разделимых статистик.
Н 0 = (Яо(п,Л0) последовательность простых нулевых гипотез, заключающихся в том, что распределение вектора h(n,N) есть (0.2), где случайные величины i,... ,лг и (0.2) одинаково распределены и P{ti = k}=p k ,k = 0,l,2,..., параметры п, N изменяются в центральной области.
Рассмотрим некоторое Р Є (0,1) и последовательность, вообще говоря, сложных альтернатив n = (H(n,N)) таких,что существует а п
Р{Фм > ОпАР)} >: 0-Будем отвергать гипотезу Hq(ti,N), если фм > а щ м({3). Если существует предел jim ~1пР{0лг > a n , N (P)} = ШН), где вероятность для каждого N вычисляется при гипотезе #o(n,iV), то значение j (fi,lcl) названо в /38/ индексом критерия ф в точке (/?,Н). Последний предел может, вообще говоря, и не существовать. Поэтому в диссертационной работе кроме индекса критерия рассматривается величина lim (_IlnP{tor > a N (J3)}) =іф(Р,П), которая автором диссертационной работы по аналогии была названа нижним индексом критерия ф в точке (/3,Н). Здесь и далее lim адг, lim а# jV-юо ЛГ-юо означают соответственно нижний и верхний пределы последовательности (одг) при N -> сю,
Если индекс критерия существует, то нижний индекс критерия совпадает с ним. Нижний индекс критерия существует всегда. Чем больше значения индекса критерия (нижнего индекса критерия), тем лучше в рассматриваемом смысле статистический критерий. В /38/ была решена задача построения критериев согласия для обобщенных схем размещения с наибольшим значением индекса критерия в классе критериев, которые отклоняют гипотезу Ho(n,N) при где т > 0 - некоторое фиксированное число, последовательность постоянных едг выбирается, исходя из заданного значения мощности критерия при последовательности альтернатив, ф т - действительная функция от т + 1 аргументов.
Индексы критериев определяются вероятностями больших уклонений. Как было показано в /38/, грубая (с точностью до логарифмической эквивалентности) асимптотика вероятностей больших уклонений разделимых статистик при выполнении условия Крамера для случайной величины /() определяется соответствующим информационным расстоянием Куль-бака - Лейблера - Санова (случайная величина ц удовлетворяет условию Крамера, если для некоторого # > 0 производящая функция моментов Me f7? конечна в интервале \t\
Вопрос о вероятностях больших уклонений статистик от неограни- ченного числа fi r , а также произвольных разделимых статистик, не удовлетворяющих условию Крамера, оставался открытым. Это не позволяло окончательно решить задачу построения критериев для проверки гипотез в обобщенных схемах размещения с наибольшей скоростью стремления к нулю вероятности ошибки первого рода при пссближающихся альтернативах в классе критериев, основанных на статистиках вида (0.4). Актуальность диссертационного исследования определяется необходимостью завершить решение указанной задачи.
Целью диссертационной работы является построение критериев согласия с наибольшим значением индекса критерия (нижнего индекса критерия) для проверки гипотез в схеме выбора без возращения в классе критериев, которые отклоняют гипотезу Щ{п, N) при 0(iv"iv"-""" o """)>CiV " (0 " 7) где ф - функция от счетного количества аргументов, и параметры п, N изменяются в центральной области.
В соответствии с целью исследования были поставлены следующие задачи: исследовать свойства энтропии и информационного расстояния Куль-бака - Лейблера - Санова для дискретных распределений со счетным количеством исходов; исследовать вероятности больших уклонений статистик вида (0.4); исследовать вероятности больших уклонений симметричных разделимых статистик (0.3), не удовлетворяющих условию Крамера; - найти такую статистику, что построенный на ее основе критерий со гласия для проверки гипотез в обобщенных схемах размещения имеет наибольшее значение индекса в классе критериев вида (0.7).
Научная новизна: дано понятие обобщенной метрики - функции, допускающей бесконечные значения и удовлетворяющей аксиомам тождества, симметрии и неравенства треугольника. Найдена обобщенная метрика и указаны множества, на которых функции энтропии и информационного расстояния, заданные на семействе дискретных распределений со счетным числом исходов, непрерывны в этой метрике; в обобщенной схеме размещения найдена грубая (с точностью до логарифмической эквивалентности) асимптотика для вероятностей больших уклонений статистик вида (0.4), удовлетворяющих соответствующей форме условия Крамера; в обобщенной схеме размещения найдена грубая (с точностью до логарифмической эквивалентности) асимптотика для вероятностей больших уклонений симметричных разделимых статистик, не удовлетворяющих условию Крамера; в классе критериев вида (0.7) построен критерий с наибольшим значением индекса критерия.
Научная и практическая ценность. В работе решен ряд вопросов о поведении вероятностей больших уклонений в обобщенных схемах размещения. Полученные результаты могут быть использованы в учебном процессе по специальностям математическая статистика и теория информации, при исследовании статистических процедур анализа дискретных последовательностях и были использованы в /3/, /21/ при обосновании защищенности одного класса информационных систем. Положения, выносимые на защиту: сведение задачи проверки по единственной последовательности цветов шаров гипотезы от том, что эта последовательность получена в результате выбора без возвращения до исчерпания шаров из урны, содержащей шары двух цветов, и каждый такой выбор имеет одинаковую вероятность, к построению критериев согласия для проверки гипотез в соответствующей обобщенной схеме размещения; непрерывность функций энтропии и информационного расстояния Кульбака - Лейблера - Санова на бесконечномерном симплексе с введенной логарифмической обобщенной метрикой; теорема о грубой (с точностью до логарифмической эквивалентности) асимптотике вероятностей больших уклонений симметричных разделимых статистик, не удовлетворяющих условию Крамера в обобщенной схеме размещения в семиэксионенциалыюм случае; теорема о грубой (с точностью до логарифмической эквивалентности) асимптотике вероятностей больших уклонений для статистик вида (0.4); - построение критерия согласия для проверки гипотез в обобщенных схемах размещения с наибольшим значением индекса в классе крите риев вида (0.7).
Апробация работы. Результаты докладывалась на семинарах Отдела дискретной математики Математического института им. В. А. Стек-лова РАН, отделения информационной безопасности ИТМиВТ им. С. А. Лебедева РАН и на: пятом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике. Весенняя сессия, Кисловодск, 2 - 8 мая 2004; шестой Международной Петрозаводской конференция "Вероятностные методы в дискретной математике" 10 - 16 июня 2004; второй Международной конференции "Информационные системы и технологии (IST"2004)", Минск, 8 - 10 ноября 2004;
Международной конференции "Modern Problems and new Trends in Probability Theory", Черновцы, Украина, 19 - 26 июня 2005.
Основные результаты работы использовались в НИР "Апология", выполняемой ИТМиВТ РАН им. С. А. Лебедева в интересах Федеральной службы по техническому и экспортному контролю РФ, и вошли в отчет об исполнении этапа НИР /21/. Отдельные результаты диссертации вошли в отчет но НИР "Разработка математических проблем криптографии" Академии криптографии РФ за 2004 г. /22/.
Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук Ронжину А. Ф. и научному консультанту доктору физико-математических наук старшему научному сотруднику Князеву А. В. Автор выражает признательность доктору физико-математических наук профессору Зубкову А. М. и кандидату физико-математических наук Круглову И. А. за внимание, оказанное работе, и ряд ценных замечаний.
Структура и содержание работы.
В первой главе исследуются свойства энтропии и информационного расстояния для распределений на множестве неотрицательных целых чисел.
В первом параграфе первой главы вводятся обозначения и даются необходимые определения. В частности, используются следующие обозначения: х = (:ro,i, ---) - бесконечномерный вектор со счетным количеством компонент;
Н{х) - -Ex^oXvlnx,; trunc m (x) = (х 0 ,х 1 ,...,х т,0,0,...); SI* = {х, х и > 0, и = 0,1,..., Е~ о х„ 0,v = 0,l,...,E? =Q x v = 1}; fi 7 = {х Є О, L 0 vx v = 7}; %] = {хЄП,Ео»х и
16 мі = e о ** v \ &c = Ue>1 | 5 є Q 7) о
Понятно, что множество Vt соответствует семейству вероятностных распределений на множестве неотрицательных целых чисел, П 7 - семейству вероятностных распределений на множестве неотрицательных целых чисел с математическим ожиданием 7-Если у Є Q, то для є > 0 через О е (у) будет обозначаться множество
Оє(у) - {х eO,x v
Во втором параграфе первой главы доказывается теорема об ограниченности энтропии дискретных распределений с ограниченным математическим ожиданием.
Теорема 1. Об ограниченности энтропии дискретных распределений с ограниченным математическим ожиданием. Для любого жбП 7
Если х Є fi 7 соответствует геометрическому распределению с математическим ооісиданием 7 ; то есть
7 х„ = (1- р)р\ v = 0,1,..., где р = --,
1 + 7 то имеет место равенство H(x) = F(1).
На утверждение теоремы можно смотреть как на результат формаль- ного применения метода условных множителей Лагранжа в случае бесконечного количества переменных. Теорема о том, что единственное распределение на множестве {к, к + 1, к + 2,...} с данным математическим ожиданием и максимальной энтропией есть геометрическое распределение с данным математическим ожиданием, приведена (без доказательства) в /47/. Автором, тем не менее, дано строгое доказательство.
В третьем параграфе первой главы дается определение обобщенной метрики - метрики, допускающей бесконечные значения.
Для х,у Є Гі определяется функция р(х,у) как минимальное є > О со свойством y v e~ e
Если такого є не существует, то полагается, что р{х,у) = оо.
Доказывается, что функция р{х,у) - обобщенная метрика на семействе распределений на множестве неотрицательных целых чисел, а также на всем множестве Сі*. Вместо е в определении метрики р{х,у) можно использовать любое другое положительное,число, отличное от 1. Получающиеся при этом метрики будут отличаться на мультипликативную константу. Обозначим через J(x, у) информационное расстояние
Здесь и далее полагается, что 0 In 0 = 0,01п ^ = 0. Информационное расстояние определено для таких х, у, что x v - 0 для всех и таких, что y v = 0. Если это условие не выполнено, то будем полагать J(S,y) = со. Пусть А С $1. Тогда будем обозначать J{Ay)="mU(x,y).
Положим J(Jb,y) = 00.
В четвертом параграфе первой главы дается определение компактности функций, заданных на множестве П*. Компактность функции от счетного числа аргументов означает, что с любой степенью точности значение функции может быть приближено значениями этой функции в точках, где лишь конечное количество аргументов отлично от нуля. Доказывается компактность функций энтропии и информационного расстояния.
Для любого 0
Если для некоторого 0 0 функция \{x) = J(x,p) компактна на множестве Ц 7 ] П О г (р).
В пятом параграфе первой главы рассматриваются свойства информационного расстояния, задаваемого на бесконечномерном пространстве. По сравнению с конечномерным случаем ситуация с непрерывностью функции информационного расстояния качественно меняется. Показывается, что функция информационного расстояния не является непрерывной на множестве Г2 ни в одной из метрик pi(,y)= E|z„-i/„|, (
00 \ 2 р 2 {х,у) = sup {x^-ij^.
Доказывается справедливость следующих неравенств для функций энтропии Н(х) и информационного расстояния J(x,p):
1. Для любых х, х" Є fi \Н{х) - Н{х")\
2. Если для некоторых х,р є П существует є > 0 такое, что х є О є (р), то для любого X і Є Q \J{x,p) - J(x",p)\
Из этих неравенств с учетом теоремы 1 следует равномерная непрерывность функций энтропии и информационного расстояния на соответствующих подмножествах fi в метрике р(х,у), а именно,
Для любого 7 такого, что 0
Если для некоторого 7о, О
20 то для любых 0 0 функция \p{x) = J(x t p) равномерно непрерывна на множестве Ц 7 ] П О є (р) в метрике р(ж,у).
Дается определение неэкстремальности функции. Условие неэкстремальности означает то, что функция не имеет локальных экстремумов, либо функция принимает в локальных минимумах (локальных максимумах) одинаковые значения. Условие неэкстремальности ослабляет требование отсутствия локальных экстремумов. Например, функция sin х на множестве действительных чисел имеет локальные экстремумы, но удовлетворяет условию неэкстремалыюсти.
Пусть для некоторого 7 > 0, область А задается условием
А = {хЄЇ1 1 ,ф(х) >а}, (0.9) где ф(х) - действительнозначная функция, а - некоторая действительная константа, inf ф(х)
И 3у,ался вопрос, п Р „ каких условиях „а ф„ ф при и_ „ара- q метров п, N в центральной области, ^ -> 7, при всех достаточно больших их значениях найдутся такие неотрицательные целые ко, к\,..., к п, что ко + hi + ... + к п = N,
21 k\ + 2/... + nk n - N
Kq k\ k n . ^"iv"-"iv" 0 " 0 "-")>a -
Доказывается, что для этого от функции ф достаточно потребовать неэкстремальное, компактности и непрерывности в метрике р(х,у), а также того, что хотя бы для одной точки х, удовлетворяющей (0.9), для некоторого є > 0 существует конечный момент степени 1 + є Ml + = і 1+є х и 0 для любого и = 0,1,....
Во второй главе исследуется грубая (с точностью до логарифмической эквивалентности) асимптотика вероятности больших уклонений функций от Д = (fio,..., ц п, 0,...) - числа ячеек с заданным заполнением в центральной области изменения параметров N,n. Грубой асимптотики вероятностей больших уклонений достаточно для изучения индексов критериев согласия.
Пусть случайные величины ^ в (0.2) одинаково распределены и
Р{Сі = к}=р ь к = 0,1,... > P(z) - производящая функция случайной величины i - сходится в круге радиуса 1
22 Обозначим р(.) = (р{ад = о},Р№) = і},...).
Если существует решение z 1 уравнения
М(*) = 7, то оно единственно /38/. Всюду в дальнейшем будем предполагать, что Pjfc>0,fc = 0,l,....
В первом пункте первого параграфа второй главы находится асимптотика логарифмов вероятностей вида -т^1пР{й) = ^,...,/ = К}-
Доказывается следующая теорема.
Теорема 2. Грубая локальная теорема о вероятностях больших уклонений. Пусть п, N -* со так, что - ->7>0
Утверждение теоремы следует непосредственно из формулы для совместного распределения /to, А*ь / в /26/ и следующей оценки: если неотрицательные целочисленные величины fii,fi2,/ удовлетворяют условию /І1 + 2// 2 + ... + 71/ = 71, то число ненулевых величин среди них есть 0(л/п). Это грубая оценка, не претендующая на новизну. Число ненулевых ц г в обобщенных схемах размещения не превосходит величины максимального заполнения ячеек, которое в центральной области с вероятностью, стремящейся к 1, не превосходит величины 0(\пп) /25/,/27/. Тем не менее, полученная оценка 0(у/п) выполняется с вероятностью 1 и ее достаточно для получения грубой асимптотики.
Во втором пункте первого параграфа второй главы находится значение предела где адг - последовательность действительных чисел, сходящаяся к некоторому а Є R, ф(х) - действительнозначная функция. Доказывается следующая теорема.
Теорема 3. Грубая интегральная теорема о вероятностях больших уклонений. Пусть выполнены условия теоремы 2, для некоторых г > 0, (> 0 действительная функция ф{х) компактна, равномерно непрерывна в метрике р на мноэюестве
А = О гН (р{г 1))пП ьн] и удовлетворяет условию неэкстремальности на множестве Г2 7 . Если для некоторой константы а такой, что inf ф(х)
24 существует вектор р а fi 7 П 0 r (p(z 7)) ; такой, что
Ф{ра) > а J{{ {x) >а,хЄ П 7 },р(2; 7)) = J(p a ,p(^y)), mo длл любой последовательности а^, сходящейся к а, ^-^\пР{ф(^,^,...)>а м } = Пр а,р(г,)). (0.11)
При дополнительных ограничениях на функцию ф(х) информационное расстояние J{pa,P{zy)) в (2.3) удается вычислить более конкретно. А именно, справедлива следующая теорема. Теорема 4. Об информационном расстоянии. Пусть для некоторого 0
Ли некоторвх г > 0, С > 0 действительная функция ф{х) и ее частные производные первого порядка компактны и равномерно непрерывны в обобгценной метрике р{х, у) на множестве
А = О г {р)ПП ьн] , существуют Т > 0, R > 0, такие, что для всех \t\ О p v v 1+ z u ехр{і--ф{х)}
0(р(гаЛ)) = а, / ч X v \Z,t) T, u= oX LJ {Z,t)
Тогда p(z a , t a) Є ft, u J({z Є Л,0(ж) = а},р) = J(p(z a ,t a),p) д _ 9 = 7111 + t a «-^ОФаЛ)) - In 2Wexp{ a --0(р(г а,і а))}. j/=0 CnEi/ ^_o CX(/
Если функция ф(х) - линейная функция, и функция fix) определена при помощи равенства (0.5), то условие (0.12) превращается в условие Крамера для случайной величины f{,{z)). Условие (0.13) есть форма условия (0.10) и используется при доказательстве наличия в областях вида {х Є Г2, ф(х) > а} хотя бы одной точки из 0(n, N) при всех достаточно больших п, N.
Пусть v («)(n,iV) = (/гі,... ,/ijv) - вектор частот в обобщенной схеме размещения (0.2). В качестве следствия из теорем 3, 4 формулируется следующая теорема.
Теорема 5. Грубая интегральная теорема о вероятностях больших уклонений симметричных разделимых статистик в обобщенной схеме размещения.
Пусть п, N -> со так, что jfr - 7» 0 0,R > 0 такие, что для всех \t\ Тогда для любой последовательности а#, сходящейся к а, 1 і iv =
Эта теорема впервые была доказана А. Ф. Ронжиным в /38/ с использованием метода перевала.
Во втором параграфе второй главы исследуются вероятности больших уклонений разделимых статистик в обобщенных cxj^iax разме- v ^ щения в случае невыполнения условию Крамера для случайной величины /((z)). Условие Крамера для случайной величины f{,(z)) не выполняется, в частности, если (z) - пуассоновская случайная величина, а /(х) = х 2 . Заметим, что условие Крамера для самих разделимых статистик в обобщенных схемах размещения выполняется всегда, так как при любых фиксированных п, N число возможных исходов в этих схемах конечно.
Как отмечено в /2/, если условие Крамера не выполнено, то для отыскания асимптотики вероятностей больших уклонений сумм одинаково рас- пределеипых случайных величин требуется выполнение дополнительных, fусловий правильного изменения на распределение слагаемого. В работе (рассматривается случай, соответствующий выполнению условия (3) в /2/, то есть семиэкспоненциальный случай. Пусть P{i = к} > О для всех
28 к = 0,1,... и функцию р(к) = -\пР{^ = к}, можно продолжить до функции непрерывного аргумента - правильно меняющейся функции порядка р, 0 оо P(tx) , r v P(t)
Пусть функция f(x) при достаточно больших значениях аргумента - положительная строго возрастающая, правильно меняющаяся функция порядка д>1,^На остальной числовой оси
Тогда с. в. /(i) имеет моменты любого порядка и не удовлетворяет условию Крамера, ip(x) = о(х) при х -> оо, и справедлива следующая Теорема 6. Пусть при достаточно больших х функция ip(x) монотонно не убывает, функция ^р монотонно не возрастает, п, N --> оо так, что jf - А, 0 b{z\), где b(z) = М/(1(2)), существует предел &Щ 1пР{ь " (л(п,лг)) > cN] = " (с ~ b{zx))l Ь»"ї
Из теоремы б следует, что при невыполнении условия Крамера предел (^ lim ~\nP{L N (h(n,N)) > cN} = 0, "" Dv
Л/-too iV и что доказывает справедливость гипотезы, высказанной в /39/. Таким обра- ъ зом, значение индекса критерия согласия в обобщенных схемах размещения -^ при невыполнении условия Крамера всегда равно нулю. При этом в классе критериев, когда условие Крамера выполняется, строятся критерии с ненулевым значением индекса. Отсюда можно сделать вывод, что использовать критерии, статистика которых не удовлетворяет условию Крамера, например, критерий хи-квадрат в полиномиальной схеме, для построения критериев согласия для проверки гипотез при несближающихся альтернативах в указанном смысле асимптотически неэффективно. Подобный вывод был сделан в /54/ по результатам сравнения статистик хи-квадрат и отношения максимального правдоподобия в полиномиальной схеме.
В третьей главе решается задача построения критериев согласия с наибольшим значением индекса критерия (наибольшим значением нижнего индекса критерия) для проверки гипотез в обобщенных схемах размещения. На основе результатов первой и второй глав о свойствах функций энтропии, информационного расстояния и вероятностей больших уклонений в третьей главе находится функция вида (0.4) такая, что критерий согласия, построенный на ее основе, имеет наибольшее значение точного нижнего индекса в рассматриваемом классе критериев. Доказывается следующая теорема. Теорема 7. О существовании индекса. Пусть выполнены условия теоремы 3, 0 ,... - последовательность альтернативных распределений, 0^(/3, iV) - максимальное число, для которого при гипотезе Н Р (ло выполнено неравенство
Р{ф(^^,...)>а ф (Р,М)}>(3, существует предел limjv-»oo о>ф{Р, N) - а. Тогда в точке (/З, Н) существует индекс критерия ф
Зфф,К) = 3{{ф{х) >а,хе ЗД.Р^)).
При этом зф(0,й)N NP{e(2 7) = fc}"
В Заключении излагаются полученные результаты в их соотношении с общей целью и конкретными задачами, поставленными в диссертации, формулируются выводы но результатам диссертационного исследования, указываются научная новизна, теоретическая и практическая ценность работы, а также конкретные научные задачи, которые выявлены автором и решение которых представляется актуальным.
Краткий обзор литературы по теме исследования.
В диссертационной работе рассматривается задача построения критериев согласия в обобщенных схемах размещения с наибольшим значением индекса критерия в классе функций вида (0.4) при несближающихся альтернативах.
Обобщенные схемы размещения были введены В. Ф. Колчиным в /24/. Величины fi r в полиномиальной схеме были названы числом ячеек с г дробинками и подробно изучены в монографии В. Ф. Колчина, Б. А. Севастьянова, В. П. Чистякова /27/. Величины \і г в обобщенных схемах размещения исследовались В. Ф. Колчиным в /25/,/26/. Статистики вида (0.3) впервые были рассмотрены Ю. И. Медведевым в /30/ и получили название разделимых (аддитивно разделимых) статистик. Если функции /„ в (0.3) не зависят от и, такие статистики были названы в /31/ симметричными разделимыми статистиками. Асимптотика моментов разделимых статистик в обобщенных схемах размещения была получена Г. И. Ивченко в /9/. Предельные теоремы для обобщенной схемы размещения рассматривались также в /23/. Обзоры результатов предельных теоремах и критериях согласия в дискретных вероятностых схемах типа (0.2) были даны В. А. Ивановым, Г. И. Ивченко, Ю. И. Медведевым в /8/ и Г. И. Ивченко, Ю. И. Медведевым, А. Ф. Ронжиным в /14/. Критерии согласия для обобщенных схем размещения были рассмотрены А. Ф. Ронжиным в /38/.
Сравнение свойств статистических критериев в указанных работах проводилось с точки зрения относительной асимптотической эффективности. Рассматривались случае сближающихся (контигуальных) гипотез - эффективность в смысле Питмена и несближающихся гипотез - эффективность в смысле Бахадура, Ходжеса - Лемана и Чернова. Связь между различными видами относительной эффективности статистических критериев обсуждается, например, в /49/. Как следует из результатов Ю. И. Медведева в /31/ о распределении разделимых статистик в полиномиаль- ной схеме, наибольшую асимптотическую мощность при сближающихся гипотезах в классе разделимых статистик от частот исходов в полиномиальной схеме имеет критерий, основанный на основе статистики хи-квадрат. Данный результат был обобщен А. Ф. Ронжиным для схем типа (0.2) в /38/. И. И. Викторовой и В. П. Чистяковым в /4/ построен оптимальный критерий для полиномиальной схемы в классе линейных функций от fi r . А. Ф. Ронжин в /38/ построил критерий, который при последовательности несближающихся с нулевой гипотезой альтернатив минимизирует логарифмическую скорость стремления вероятности ошибки первого рода к нулю, в классе статистик вида (0.6). Сравнение относительной эффективности статистик хи-квадрат и отношения максимального правдоподобия при сближающихся и несближающихся гипотезах было проведено в /54/. В диссертационной работе рассматривался случай несближающися гипотез. Изучение относительной статистической эффективности критериев при несближающихся гипотезах требует исследования вероятностей сверхбольших уклонений - порядка 0(у/п). Впервые такая задача для полиномиального распределения с фиксированным количеством исходов решалась И. Н. Сановым в /40/. Асимптотическая оптимальность критериев согласия для проверки простых и сложных гипотез для полиномиального распределения в случае конечного числа исходов при несближающихся альтернативах рассматривалась в /48/. Свойства информационного расстояния ранее рассматривались Кульбаком, Лейблером /29/,/53/ и И. II. Сановым /40/, а также Хеффдингом /48/. В указанных работах непрерывность информационного расстояния рассматривалась на конечномер- ных пространствах в евклидовой метрике. Рядом автором рассматривалась последовательность пространств с растущей размерностью, например, в работе Ю. В. Прохорова /37/ или в работе В. И. Богачева, А. В. Колесникова /1/. Грубые (с точностью до логарифмической эквивалентности) теоремы о вероятностях больших уклонений разделимых статистик в обобщенных схемах размещения при выполнении условия Крамера были получены А. Ф. Роижиным в /38/. А. Н. Тимашевым в /42/,/43/ получены точные (с точностью до эквивалентности) многомерные интегральные и локальные предельные теоремы о вероятностях больших уклонений вектора fir^n, N),..., fi rs (n,N), где s, гі,..., r s - фиксированные целые числа,
Статистические задачи проверки гипотез и оценивания параметров в схеме выбора без возвращения в несколько иной постановке рассматривались Г. И. Ивченко, В. В. Левиным, Е. Е. Тимониной /10/, /15/, где решались задачи оценивания для конечной совокупности, когда число ее элементов является неизвестной величиной, доказывалась асимптотическая нормальность многомерных S - статистик от s независимых выборок в схеме выбора без возвращения. Задача изучения случайных величин, свя- занных с повторениями в последовательностях независимых испытаний исследовалась А. М. Зубковым, В. Г. Михайловым, А. М. Шойтовым в /6/, /7/, /32/, /33/, /34/. Анализ основных статистических задач оценивания и проверки гипотез в рамках общей модели Маркова-Пойа проведен Г. И. Ивченко, Ю. И. Медведевым в /13/, вероятностный анализ которой был дан в /11/. Способ задания неравновероятиых мер на множестве комбинаторных объектов, не сводимый к обобщенной схеме размещения (0.2) был описан в Г. И. Ивченко, Ю. И. Медведевым /12/. Ряд задач теории вероятностей, в которых ответ может быть получен в результате вычислений но рекуррентным формулам, указан А. М. Зубковым в /5/.
Неравенства для энтропии дискретных распределений были получены в /50/ (цитируется но реферату А. М. Зубкова в РЖМат). Если {p n }Lo - распределение вероятностей,
Рп = Е Рк, к=п A = supp^Pn+i
Я + (In -f-) (Х Рп - Р п+1)
Рп= {x f 1)n+v n>Q. (0.15)
Заметим, что экстремальное распределение (0.15) есть геометрическое распределение с математическим ожиданием Л, а функция F(X) от параметра (0.14) совпадает с функцией от математического ожидания в теореме 1.
Энтропия дискретных распределений с ограниченным математическим ожиданием
Если индекс критерия существует, то нижний индекс критерия совпадает с ним. Нижний индекс критерия существует всегда. Чем больше значения индекса критерия (нижнего индекса критерия), тем лучше в рассматриваемом смысле статистический критерий. В /38/ была решена задача построения критериев согласия для обобщенных схем размещения с наибольшим значением индекса критерия в классе критериев, которые отклоняют гипотезу Ho(n,N) при где т 0 - некоторое фиксированное число, последовательность постоянных едг выбирается, исходя из заданного значения мощности критерия при последовательности альтернатив, фт - действительная функция от т + 1 аргументов.
Индексы критериев определяются вероятностями больших уклонений. Как было показано в /38/, грубая (с точностью до логарифмической эквивалентности) асимптотика вероятностей больших уклонений разделимых статистик при выполнении условия Крамера для случайной величины /() определяется соответствующим информационным расстоянием Куль-бака - Лейблера - Санова (случайная величина ц удовлетворяет условию Крамера, если для некоторого # 0 производящая функция моментов Mef7? конечна в интервале \t\ Н /28/).
Вопрос о вероятностях больших уклонений статистик от неограни ченного числа fir, а также произвольных разделимых статистик, не удовлетворяющих условию Крамера, оставался открытым. Это не позволяло окончательно решить задачу построения критериев для проверки гипотез в обобщенных схемах размещения с наибольшей скоростью стремления к нулю вероятности ошибки первого рода при пссближающихся альтернативах в классе критериев, основанных на статистиках вида (0.4). Актуальность диссертационного исследования определяется необходимостью завершить решение указанной задачи.
Целью диссертационной работы является построение критериев согласия с наибольшим значением индекса критерия (нижнего индекса критерия) для проверки гипотез в схеме выбора без возращения в классе критериев, которые отклоняют гипотезу Щ{п, N) при где ф - функция от счетного количества аргументов, и параметры п, N изменяются в центральной области. В соответствии с целью исследования были поставлены следующие задачи: - исследовать свойства энтропии и информационного расстояния Куль-бака - Лейблера - Санова для дискретных распределений со счетным количеством исходов; - исследовать вероятности больших уклонений статистик вида (0.4); - исследовать вероятности больших уклонений симметричных разделимых статистик (0.3), не удовлетворяющих условию Крамера; - найти такую статистику, что построенный на ее основе критерий со гласия для проверки гипотез в обобщенных схемах размещения имеет наибольшее значение индекса в классе критериев вида (0.7). Научная новизна: - дано понятие обобщенной метрики - функции, допускающей бесконечные значения и удовлетворяющей аксиомам тождества, симметрии и неравенства треугольника. Найдена обобщенная метрика и указаны множества, на которых функции энтропии и информационного расстояния, заданные на семействе дискретных распределений со счетным числом исходов, непрерывны в этой метрике; - в обобщенной схеме размещения найдена грубая (с точностью до логарифмической эквивалентности) асимптотика для вероятностей больших уклонений статистик вида (0.4), удовлетворяющих соответствующей форме условия Крамера; - в обобщенной схеме размещения найдена грубая (с точностью до логарифмической эквивалентности) асимптотика для вероятностей больших уклонений симметричных разделимых статистик, не удовлетворяющих условию Крамера; - в классе критериев вида (0.7) построен критерий с наибольшим значением индекса критерия. Научная и практическая ценность. В работе решен ряд вопросов о поведении вероятностей больших уклонений в обобщенных схемах размещения. Полученные результаты могут быть использованы в учебном процессе по специальностям математическая статистика и теория информации, при исследовании статистических процедур анализа дискретных последовательностях и были использованы в /3/, /21/ при обосновании защищенности одного класса информационных систем. Положения, выносимые на защиту: - сведение задачи проверки по единственной последовательности цветов шаров гипотезы от том, что эта последовательность получена в результате выбора без возвращения до исчерпания шаров из урны, содержащей шары двух цветов, и каждый такой выбор имеет одинаковую вероятность, к построению критериев согласия для проверки гипотез в соответствующей обобщенной схеме размещения; - непрерывность функций энтропии и информационного расстояния Кульбака - Лейблера - Санова на бесконечномерном симплексе с введенной логарифмической обобщенной метрикой; - теорема о грубой (с точностью до логарифмической эквивалентности) асимптотике вероятностей больших уклонений симметричных разделимых статистик, не удовлетворяющих условию Крамера в обобщенной схеме размещения в семиэксионенциалыюм случае;
Непрерывность информационного расстояния Кульбака - Лейблера - Санова
Обобщенные схемы размещения были введены В. Ф. Колчиным в /24/. Величины fir в полиномиальной схеме были названы числом ячеек с г дробинками и подробно изучены в монографии В. Ф. Колчина, Б. А. Севастьянова, В. П. Чистякова /27/. Величины \іг в обобщенных схемах размещения исследовались В. Ф. Колчиным в /25/,/26/. Статистики вида (0.3) впервые были рассмотрены Ю. И. Медведевым в /30/ и получили название разделимых (аддитивно разделимых) статистик. Если функции /„ в (0.3) не зависят от и, такие статистики были названы в /31/ симметричными разделимыми статистиками. Асимптотика моментов разделимых статистик в обобщенных схемах размещения была получена Г. И. Ивченко в /9/. Предельные теоремы для обобщенной схемы размещения рассматривались также в /23/. Обзоры результатов предельных теоремах и критериях согласия в дискретных вероятностых схемах типа (0.2) были даны В. А. Ивановым, Г. И. Ивченко, Ю. И. Медведевым в /8/ и Г. И. Ивченко, Ю. И. Медведевым, А. Ф. Ронжиным в /14/. Критерии согласия для обобщенных схем размещения были рассмотрены А. Ф. Ронжиным в /38/.
Сравнение свойств статистических критериев в указанных работах проводилось с точки зрения относительной асимптотической эффективности. Рассматривались случае сближающихся (контигуальных) гипотез - эффективность в смысле Питмена и несближающихся гипотез - эффективность в смысле Бахадура, Ходжеса - Лемана и Чернова. Связь между различными видами относительной эффективности статистических критериев обсуждается, например, в /49/. Как следует из результатов Ю. И. Медведева в /31/ о распределении разделимых статистик в полиномиальной схеме, наибольшую асимптотическую мощность при сближающихся гипотезах в классе разделимых статистик от частот исходов в полиномиальной схеме имеет критерий, основанный на основе статистики хи-квадрат. Данный результат был обобщен А. Ф. Ронжиным для схем типа (0.2) в /38/. И. И. Викторовой и В. П. Чистяковым в /4/ построен оптимальный критерий для полиномиальной схемы в классе линейных функций от fir. А. Ф. Ронжин в /38/ построил критерий, который при последовательности несближающихся с нулевой гипотезой альтернатив минимизирует логарифмическую скорость стремления вероятности ошибки первого рода к нулю, в классе статистик вида (0.6). Сравнение относительной эффективности статистик хи-квадрат и отношения максимального правдоподобия при сближающихся и несближающихся гипотезах было проведено в /54/. В диссертационной работе рассматривался случай несближающися гипотез. Изучение относительной статистической эффективности критериев при несближающихся гипотезах требует исследования вероятностей сверхбольших уклонений - порядка 0(у/п). Впервые такая задача для полиномиального распределения с фиксированным количеством исходов решалась И. Н. Сановым в /40/. Асимптотическая оптимальность критериев согласия для проверки простых и сложных гипотез для полиномиального распределения в случае конечного числа исходов при несближающихся альтернативах рассматривалась в /48/. Свойства информационного расстояния ранее рассматривались Кульбаком, Лейблером /29/,/53/ и И. II. Сановым /40/, а также Хеффдингом /48/. В указанных работах непрерывность информационного расстояния рассматривалась на конечномерных пространствах в евклидовой метрике. Рядом автором рассматривалась последовательность пространств с растущей размерностью, например, в работе Ю. В. Прохорова /37/ или в работе В. И. Богачева, А. В. Колесникова /1/. Грубые (с точностью до логарифмической эквивалентности) теоремы о вероятностях больших уклонений разделимых статистик в обобщенных схемах размещения при выполнении условия Крамера были получены А. Ф. Роижиным в /38/. А. Н. Тимашевым в /42/,/43/ получены точные (с точностью до эквивалентности) многомерные интегральные и локальные предельные теоремы о вероятностях больших уклонений вектора
Исследование вероятностей больших уклонений при невыполнении условия Крамера для случая независимых случайных величин проведено в работах А. В. Нагаева /35/. Метод сопряженных распределений описан у Феллера /45/.
Статистические задачи проверки гипотез и оценивания параметров в схеме выбора без возвращения в несколько иной постановке рассматривались Г. И. Ивченко, В. В. Левиным, Е. Е. Тимониной /10/, /15/, где решались задачи оценивания для конечной совокупности, когда число ее элементов является неизвестной величиной, доказывалась асимптотическая нормальность многомерных S - статистик от s независимых выборок в схеме выбора без возвращения. Задача изучения случайных величин, связанных с повторениями в последовательностях независимых испытаний исследовалась А. М. Зубковым, В. Г. Михайловым, А. М. Шойтовым в /6/, /7/, /32/, /33/, /34/. Анализ основных статистических задач оценивания и проверки гипотез в рамках общей модели Маркова-Пойа проведен Г. И. Ивченко, Ю. И. Медведевым в /13/, вероятностный анализ которой был дан в /11/. Способ задания неравновероятиых мер на множестве комбинаторных объектов, не сводимый к обобщенной схеме размещения (0.2) был описан в Г. И. Ивченко, Ю. И. Медведевым /12/. Ряд задач теории вероятностей, в которых ответ может быть получен в результате вычислений но рекуррентным формулам, указан А. М. Зубковым в /5/.
Информационное расстояние и вероятности больших уклонений разделимых статистик
Когда условие Крамера не выполняется, большие уклонения разделимых статистик в обобщенной схеме размещения в рассмотренном семиэкспоненциальном случае определяются вероятностью уклонения одного независимого слагаемого. Когда условие Крамера выполняется, это, как подчеркивалось в /39/, не так. Замечание 10. Функция ф(х) такова, что математическое ожидание Ее АЫ) конечно при 0 t 1 и бесконечно при t 1. Замечание 11. Для разделимых статистик, не удовлетворяющих условию Крамера, предел (2.14) равен 0, что доказывает справедливость гипотезы, высказанной в /39/. Замечание 12. Для статистики хи-квадрат в полиномиальной схеме при п, ./V - со так, что - А, из теоремы непосредственно следует, что Этот результат был получен в /54/ непосредственно. В настоящей главе в центральной области изменения параметров обобщенных схем размещения частиц по ячейкам были найдены грубые (с точностью до логарифмической эквивалентности) асимптотики вероятностей больших уклонений аддитивно-разделимых статистик от заиолнеия ячеек и функций от числа ячеек с заданным заполнением.
Если условие Крамера выполняется, то грубая асимптотика вероятностей больших уклонений определяется грубой асимптотикой вероятностей попадания в последовательность точек с рациональными координатами, сходящихся в указанном выше смысле к точке, в которой достигается экстремум соответствующего информационного расстояния.
Был рассмотрен семиэкспоненциальный случай невыполнения услоия Крамера для случайных величины /(i),..., /(лг), где ъ, лг - независимые случайные величины, порождающие обобщенную схему размее-ния (0.2), f(k) - функция в определении симметричной аддитивно разделимой статистики в (0.3). То есть предполагалось, что функции р(к) = - lnP{i = к} и f(k) могут быть продолжены до правильно меняющихся функций непрерывного аргумента порядка р 0 и q 0 соответственно и р q . Оказалось, что основной вклад в грубую асимптотику вероятностей больших уклонений разделимых статистик в обобщенных схемах размещения аналогичнымобразом вносит грубая асимптотика вероятности ионадания в соответствующую последовательность точек. Интересно отметить, что ранее теорема о вероятностях больших уклонений для разделимых статистик доказывалась с использованием метода перевала, причем основной вклад в асимптотику вносила единственная точка перевала. Остался неисследованным случай, когда при невыполнении условия Крамера не выполняется условие 2-кН.
Если условие Крамера не выполняется, то указанное условие может не выполняться только в случае р 1. Как непосредственно следует из логариф-мироания соответствующих вероятностной, для распределения Пуассона и геометрического распределения р=1. Из результата об асимптотике вероятностей больших уклонений при невыполнении условия Крамера можно сделать вывод, что критерии, статистика которых не удовлетворяет условию Крамера, имеют существенно меньшую скорость стреимления к нулю вероятностей ошибок второго рода при фиксированной вероятности ошибки первого рода и несближающихся пльтернативах по сравнению с критериями, статистика которых удовлетворяет условию Крамера. Пусть из урны, содержащей N - 1 1 белых ип-JV 1 черных шаров производится выбор без возвращения до олпого исчерпания. Свяжем места белых шаров в выборе 1 i\ ... г -і п - 1 с последовательностью расстояний между соседними белыми шарами hi,..., h следующим образом: Тогда hv l,v =1,... ,N,M EjLi i/ - n- Зададим на множестве векторов h = (hi,..., Лдг) вероятностное распределение, положив V{hv = rv,v = l,...,N) где i,... ,лг - независимые неотрицательные целочисленные случайные величины (с. в.), то есть рассмотрим обобщенную схему размещения (0.2). Распределение вектора h зависит от n,N, но соответствующие индексы там, где это возможно, будут опускаться для упрощения записи. Замечание 14. Если каждому из (]) способов выбора шаров из урны приписана одна и та же вероятность { \) тп для любых г і,..., гдг таких, что г„ 1,и = l,...,N,T,v=\ru = п, вероятность того, что расстояния между соседними белыми шарами в выборе примут эти значения
Критерии, основанные на числе ячеек в обобщенных схемах размещения
Целью диссертационной работы было построения критериев согласия для проверки гипотез в схеме выбора без возвращения из урны, содержащей шары 2 цветов. Автором было решено изучать статистики, построенные на основе частот расстояний между шарами одного цвета. В такой постановке задача была сведена, к задаче проверки гипотез в подходящей обобщенной схеме размещения.
В диссертационной работе были - исследованы свойства энтропии и информационного расстояния дискретных распределений с неограниченным количеством исходов при ограниченном математическом ожидании; - получена грубая (с точностью до логарифмической эквивалентности) асимптотика вероятностей больших уклонений широкого класса статистик в обобщенной схеме размещения; - на основе полученных результатов построена функция критерия с наибольшей логарифмической скоростью стремления к нулю вероятности ошибки первого рода при фиксированной вероятности ошибки второго рода и несближающихся альтернативах; - доказано, что статистики, не удовлетворяющие условию Крамера, имеют меньшую скорость стремления к нулю вероятностей больших уклонений по сравнению со статистиками, удовлетворяющими такому условию. Научная новизна работы заключается в следующем. - дано понятие обобщенной метрики - функции, допускающей бесконечные значения и удовлетворяющей аксиомам тождества, симметрии и неравенства треугольника. Найдена обобщенная метрика и указаны множества, на которых функции энтропии и информационного расстояния, заданные на семействе дискретных распределений со счетным числом исходов, непрерывны в этой метрике; - в обобщенной схеме размещения найдена грубая (с точностью до логарифмической эквивалентности) асимптотика для вероятностей больших уклонений статистик вида (0.4), удовлетворяющих соответствующей форме условия Крамера; - в обобщенной схеме размещения найдена грубая (с точностью до логарифмической эквивалентности) асимптотика для вероятностей больших уклонений симметричных разделимых статистик, не удовлетворяющих условию Крамера; - в классе критериев вида (0.7) построен критерий с наибольшим значением индекса критерия. В работе решен ряд вопросов о поведении вероятностей больших уклонений в обобщенных схемах размещения. Полученные результаты могут быть использованы в учебном процессе по специальностям математическая статистика и теория информации, при исследовании статистических процедур анализа дискретных последовательностях и были использованы в /3/, /21/ при обосновании защищенности одного класса информационных систем. Однако, ряд вопросов остается открытым. Автор ограничился рассмотрением центральной зоны изменения параметров n,N обобщенных схем размещения п частиц по./V ячейкам. Если носитель распределения случайных величин, порождающие обобщенную схему размещения (0.2), не есть множество вида г, г 4-1, г + 2,..., то при доказательстве непрерывности функции информационного расстояния и исследовании вероятностей больших уклонений требуется учитывать арифметическую структуру такого носителя, что в работе автора не рассматривалось. Для практического применения критериев, построенных на основе предлагаемой функции с максимальным значением индекса, требуется изучение ее распределения как при нулевой гипотезе, так и при альтернативах, в том числе и сближающихся. Интерес представляет также перенос разработанных методов и обобщение полученных результатов на другие вероятностные схемы, отличные от обобщенных схем размещения. Если //1,/ 2,-.. - частоты расстояний между номерами исхода 0 в биномиальной схеме с вероятностями исходов рої 1 -POj то можно показать, что в этом случае Из анализа формулы для совместного распределение величин \іт в обобщенной схеме размещения, доказанной в /26/, следует, что распределение (3.3), вообще говоря, не может быть представлено в общем случае как совместное распределение величин цг в какой-либо обобщенной схеме размещения частиц по ячейкам. Данное распределение является частным случаем распределений на множестве комбинаторных объектов, введенных в /12/. Представляется актуальной задачей перенос результатов диссертационной работы для обобщенных схем размещения на этот случай, что и обсуждалось в /52/.
асимптотически оптимальный
- - понятие, утверждающее несмещенность оценки в пределе. Пусть - последовательность случайных величин на вероятностном пространстве, где Ресть одна из мер семейства...
Математическая энциклопедия
- - понятие, утверждающее несмещенность критерия в пределе...
Математическая энциклопедия
- - решение дифференциальной системы, устойчивое по Ляпунову.и притягивающее все остальные решения с достаточно близкими начальными значениями...
Математическая энциклопедия
- - понятие, расширяющее идею эффективной оценки на случай больших выборок. Однозначного определения А. э. о. не имеет. Напр., в классич. варианте речь идет об асимптотич...
Математическая энциклопедия
- - желательный, целесообразный...
Справочный коммерческий словарь
- - 1. наилучший, наиболее благоприятный, наиболее соответствующий определенным условиям и задачам 2...
Большой экономический словарь
- - наиболее благоприятный, лучший из возможных...
Большая Советская энциклопедия
- - наилучший, наиболее соответствующий определённым условиям и задачам...
Современная энциклопедия
- - наилучший, наиболее соответствующий определенным условиям и задачам...
Большой энциклопедический словарь
- - ...
- - ...
Орфографический словарь-справочник
- - ...
Орфографический словарь-справочник
- - ...
Орфографический словарь-справочник
- - ...
Орфографический словарь-справочник
- - ...
Орфографический словарь-справочник
- - ...
Орфографический словарь-справочник
"асимптотически оптимальный" в книгах
Оптимальный визуальный контраст (ОВК)
Из книги Цвет и Контраст. Технология и творческий выбор автора Железняков Валентин НиколаевичОптимальный визуальный контраст (ОВК) Представим себе черный костюм, освещенный солнцем, и белую рубашку, освещенную луной. Если измерить их яркости прибором, то окажется, что в этих условиях черный костюм во много раз ярче, чем белая рубашка, и, тем не менее, мы знаем, что
Что такое оптимальный масштаб?
Из книги Твитономика. Все, что нужно знать об экономике, коротко и по существу автора Комптон НикЧто такое оптимальный масштаб? Автором концепции оптимального масштаба является немецко-британский философ Фриц Шумахер, автор книги «Меньше – лучше: экономика как человеческая сущность».Он говорил о том, что капиталистическая тенденция к «гигантизму» не только не
8.4.2. Оптимальный путь роста
Из книги Экономическая теория: учебник автора Маховикова Галина Афанасьевна8.4.2. Оптимальный путь роста Предположим, что цены ресурсов остаются неизменными, тогда как бюджет предприятия постоянно растет. Соединив точки касания изоквант с изокостами, мы получим линию 0G – «путь развития» (путь роста). Эта линия показывает темпы роста соотношения
Оптимальный вариант
Из книги СССР: от разрухи к мировой державе. Советский прорыв автора Боффа ДжузеппеОптимальный вариант В огне схваток 1928 г. родился первый пятилетний план. Начиная с 1926 г. в двух учреждениях, Госплане и ВСНХ, один за другим подготавливались различные проекты плана. Их разработка сопровождалась непрерывными дискуссиями. По мере того как одна схема
ОПТИМАЛЬНЫЙ ВАРИАНТ
Из книги Русский рок. Малая энциклопедия автора Бушуева СветланаОптимальный
Из книги Большая Советская Энциклопедия (ОП) автора БСЭОптимальный порядок
Из книги CSS3 для веб-дизайнеров автора Сидерхолм ДэнОптимальный порядок Используя браузерные префиксы, важно не забывать о порядке, в котором перечисляются свойства. Можно заметить, что в предыдущем примере сначала написаны префиксные свойства, за которыми следует беспрефиксное свойство.Зачем ставить подлинное
Человек оптимальный
Из книги Журнал «Компьютерра» № 40 от 31 октября 2006 года автора Журнал «Компьютерра»Человек оптимальный Автор: Владимир ГуриевНекоторые темы, популярные каких-то сорок лет назад, сегодня кажутся настолько маргинальными, что всерьез почти не обсуждаются. Тогда же - если судить по тону статей в популярных журналах - они казались актуальными и даже
Оптимальный вариант
Из книги Первый удар Сталина 1941 [Сборник] автора Кремлев СергейОптимальный вариант Анализ возможных сценариев развития событий неизбежно заставляет задуматься о выборе оптимального варианта. Нельзя сказать, что различные «летние» варианты, то есть альтернативы, привязанные к маю-июню - июлю 1941 г., внушают оптимизм. Нет, они,
Оптимальный вариант
Из книги Великая Отечественная альтернатива автора Исаев Алексей ВалерьевичОптимальный вариант Анализ возможных сценариев развития событий неизбежно заставляет задуматься о выборе оптимального варианта. Нельзя сказать, что различные «летние» варианты, т. е. альтернативы, привязанные к маю - июню - июлю 1941 г., внушают оптимизм. Нет, они,
Оптимальный контроль
Из книги Самооценка у детей и подростков. Книга для родителей автора Эйестад ГюруОптимальный контроль Что значит держать в меру крепко? Это вы должны определить сами, исходя из знания собственного ребенка и условий среды, в которой вы живете. В большинстве же случаев родители подростков стараются уберечь своих детей от курения, употребления алкоголя,
Оптимальный путь
Из книги Парадокс перфекциониста автора Бен-Шахар ТалОптимальный путь Нас постоянно атакует совершенство. Обложку Men’s Health украшает Адонис, обложку Vogue - Елена Прекрасная; женщины и мужчины на необъятном экране за час-другой улаживают свои конфликты, разыгрывают идеальный сюжет, отдаются идеальной любви. Все мы слышали,
Оптимальный подход
Из книги Эксперт № 07 (2013) автора Эксперт ЖурналОптимальный подход Сергей Костяев, кандидат политических наук, старший научный сотрудник ИНИОН РАН Министерство обороны США потратило миллиард долларов на неработающую компьютерную программу Фото: EPA С 1 марта расходы Пентагона, вероятно, будут сокращены на 43 млрд
Оптимальный вариант
Из книги Два сезона автора Арсеньев ЛОптимальный вариант - Скажите, разумно ли играть сразу на нескольких фронтах? - спросили журналисты у Базилевича и Лобановского в самом начале сезона-75.- Неразумно, конечно, - ответили они. - Но нужно. Мы считаем, что обязательно следует дифференцировать значимость
Оптимальный контроль
Из книги Управление личными (семейными) финансами. Системный подход автора Штейнбок МихаилОптимальный контроль >> При оптимальном контроле мы все расходы разделяем на две больших группы:– «обычные» – регулярные расходы,– разовые или нестандартные расходы.Оптимальный контроль может использоваться только после нескольких месяцев детального контроля.
Exact Tests provides two additional methods for calculating significance levels for the statistics available through the Crosstabs and Nonparametric Tests procedures. These methods, the exact and Monte Carlo methods, provide a means for obtaining accurate results when your data fail to meet any of the underlying assumptions necessary for reliable results using the standard asymptotic method. Available only if you have purchased the Exact Tests Options.
Example. Asymptotic results obtained from small datasets or sparse or unbalanced tables can be misleading. Exact tests enable you to obtain an accurate significance level without relying on assumptions that might not be met by your data. For example, results of an entrance exam for 20 fire fighters in a small township show that all five white applicants received a pass result, whereas the results for Black, Asian and Hispanic applicants are mixed. A Pearson chi-square testing the null hypothesis that results are independent of race produces an asymptotic significance level of 0.07. This result leads to the conclusion that exam results are independent of the race of the examinee. However, because the data contain only 20 cases and the cells have expected frequencies of less than 5, this result is not trustworthy. The exact significance of the Pearson chi-square is 0.04, which leads to the opposite conclusion. Based on the exact significance, you would conclude that exam results and race of the examinee are related. This demonstrates the importance of obtaining exact results when the assumptions of the asymptotic method cannot be met. The exact significance is always reliable, regardless of the size, distribution, sparseness, or balance of the data.
Statistics. Asymptotic significance. Monte Carlo approximation with confidence level, or exact significance.
- Asymptotic . The significance level based on the asymptotic distribution of a test statistic. Typically, a value of less than 0.05 is considered significant. The asymptotic significance is based on the assumption that the data set is large. If the data set is small or poorly distributed, this may not be a good indication of significance.
- Monte Carlo Estimate . An unbiased estimate of the exact significance level, calculated by repeatedly sampling from a reference set of tables with the same dimensions and row and column margins as the observed table. The Monte Carlo method allows you to estimate exact significance without relying on the assumptions required for the asymptotic method. This method is most useful when the data set is too large to compute exact significance, but the data do not meet the assumptions of the asymptotic method.
- Exact . The probability of the observed outcome or an outcome more extreme is calculated exactly. Typically, a significance level less than 0.05 is considered significant, indicating that there is some relationship between the row and column variables.