Магический квадрат от 1 до 9. Магические квадраты (3) - Документ. Из истории магических квадратов

Существуют различные методики для построения квадратов порядка одинарной четности и двойной четности.

  • Вычислите магическую константу. Это можно сделать при помощи простой математической формулы / 2, где n – количество строк или столбцов в квадрате. Например, в квадрате 6x6 n=6, а его магическая константа:

    • Магическая константа = / 2
    • Магическая константа = / 2
    • Магическая константа = (6 * 37) / 2
    • Магическая константа = 222/2
    • Магическая константа квадрата 6х6 равна 111.
    • Сумма чисел в любой строке, столбце и по диагонали должна быть равна магической константе.

  • Разделите магический квадрат на четыре квадранта одинакового размера. Обозначьте квадранты через А (сверху слева), C (сверху справа), D (снизу слева) и B (снизу справа). Чтобы выяснить размер каждого квадранта, разделите n на 2.

    • Таким образом, в квадрате 6х6 размер каждого квадранта равен 3x3.

  • В квадранте А напишите четвертую часть всех чисел; в квадранте В напишите следующую четвертую часть всех чисел; в квадранте С напишите следующую четвертую часть всех чисел; в квадранте D напишите заключительную четвертую часть всех чисел.

    • В нашем примере квадрата 6х6 в квадранте А напишите числа 1-9; в квадранте В - числа 10-18; в квадранте С - числа 19-27; в квадранте D - числа 28-36.

  • Числа в каждом квадранте записывайте так, как вы строили нечетный квадрат. В нашем примере квадрант А начните заполнять числами с 1, а квадранты С, B, D - с 10, 19, 28, соответственно.

    • Число, с которого вы начинаете заполнение каждого квадранта, всегда пишите в центральной ячейке верхней строки определенного квадранта.
    • Заполняйте каждый квадрант числами так, как будто это отдельный магический квадрат. Если при заполнении квадранта доступна пустая ячейка из другого квадранта, игнорируйте этот факт и пользуйтесь исключениями из правила заполнения нечетных квадратов.

  • Выделите определенные числа в квадрантах А и D. На данном этапе сумма чисел в столбцах, строках и по диагонали не будет равна магической константе. Поэтому вы должны поменять местами числа в определенных ячейках верхнего левого и нижнего левого квадрантов.

    • Начиная с первой ячейки верхней строки квадранта А, выделите количество ячеек, равное медиане количества ячеек во всей строке. Таким образом, в квадрате 6x6 выделите только первую ячейку верхней строки квадранта А (в этой ячейке написано число 8); в квадрате 10х10 вам нужно выделить первые две ячейки верхней строки квадранта А (в этих ячейках написаны числа 17 и 24).
    • Образуйте промежуточный квадрат из выделенных ячеек. Так как в квадрате 6х6 вы выделили только одну ячейку, то промежуточный квадрат будет состоять из одной ячейки. Назовем этот промежуточный квадрат как A-1.
    • В квадрате 10х10 вы выделили две ячейки верхней строки, поэтому необходимо выделить две первые ячейки второй строки, чтобы образовать промежуточный квадрат 2х2, состоящий из четырех ячеек.
    • В следующей строке пропустите число в первой ячейке, а затем выделите столько чисел, сколько вы выделили в промежуточном квадрате A-1. Полученный промежуточный квадрат назовем A-2.
    • Получение промежуточного квадрата А-3 аналогично получению промежуточного квадрата A-1.
    • Промежуточные квадраты А-1, А-2, А-3 образуют выделенную область А.
    • Повторите описанный процесс в квадранте D: создайте промежуточные квадраты, которые образуют выделенную область D.

    • Математических загадок существует невообразимое количество. Каждые из них уникальны по-своему, но их прелесть заключается в том, что для решения неизбежно нужно приходить к формулам. Конечно же, можно попытаться решить их, как говорится, но это будет очень долго и практически безуспешно.

    В данной статье будет говориться об одной из таких загадок, а чтобы быть точнее — о магическом квадрате. Мы детально разберем, как решить магический квадрат. 3 класс общеобразовательной программы, конечно, это проходит, но возможно не каждый понял или вовсе не помнит.

    Что это за загадка?

    Или, как его еще называют, волшебный, — это таблица, в которой число столбцов и строк одинаково, и все они заполнены разными цифрами. Главная задача, чтобы эти цифры в сумме по вертикали, горизонтали и диагонали давали одинаковое значение.

    Помимо магического квадрата, есть еще и полумагический. Он подразумевает то, что сумма чисел одинакова лишь по вертикали и горизонтали. Магический квадрат «нормальный» только в том случае, если для заполнения использовались от единицы.

    Еще есть такое понятие, как симметричный магический квадрат — это когда значение суммы двух цифр равно, в то время, когда они располагаются симметрично по отношению к центру.

    Важно также знать, что квадраты могут быть любой величины помимо 2 на 2. Квадрат 1 на 1 также считается магическим, так как все условия выполняются, хотя и состоит он из одного-единственного числа.

    Итак, с определением мы ознакомились, теперь поговорим про то, как решить магический квадрат. 3 класс школьной программы вряд ли все так детально разъяснит, как эта статья.

    Какие есть решения

    Те люди, которые знают, как решить магический квадрат (3 класс точно знает), сразу же скажут, что решения только три, и каждое из них подходит для разных квадратов, но все же нельзя обойти стороной и четвертое решение, а именно «наугад». Ведь в какой-то мере есть вероятность того, что незнающий человек все же сможет решить данную задачку. Но данный способ мы отбросим в длинный ящик и перейдем непосредственно к формулам и методикам.

    Первый способ. Когда квадрат нечетный

    Данный способ подходит только для решения такого квадрата, у которого количество ячеек нечетное, например, 3 на 3 или 5 на 5.

    Итак, в любом случае изначально необходимо найти магическую константу. Это число, которое получится при сумме цифр по диагонали, вертикали и горизонтали. Вычисляется она с помощью формулы:

    В данном примере мы рассмотрим квадрат три на три, поэтому формула будет выглядеть так (n — число столбцов):

    Итак, перед нами квадрат. Первое, что надо сделать — это вписать цифру один в центре первой строки сверху. Все последующие цифры необходимо располагать на одну клетку правей по диагонали.

    Но тут сразу встает вопрос, как решить магический квадрат? 3 класс вряд ли использовал данный метод, да и у большинства появится проблема, как это сделать таким способом, если данной клетки нет? Чтобы сделать все правильно, необходимо включить воображение и дорисовать аналогичный магический квадрат сверху и получится так, что число 2 будет находиться в нем в нижней правой клетке. Значит, и в наш квадрат мы вписываем двойку в то же место. Это означает, что нам необходимо вписать цифры так, чтобы в сумме они давали значение 15.

    Последующие цифры вписываются точно так же. То есть 3 будет находиться в центре первого столбца. А вот 4 по такому принципу вписать не удастся, так как на ее месте уже стоит единица. В таком случае цифру 4 располагаем под 3, и продолжаем. Пятерка — в центре квадрата, 6 — в правом верхнем углу, 7 — под 6, 8 — в верхний левый и 9 — по центру нижней строки.

    Вы теперь знаете, как решить магический квадрат. 3 класс Демидова проходил, но у этого автора были чуть попроще задания, однако, зная данный способ, удастся разгадать любую подобную задачу. Но это, если число столбцов нечетное. А что же делать, если у нас, например, квадрат 4 на 4? Об этом дальше по тексту.

    Второй способ. Для квадрата двойной четности

    Квадратом двойной четности называют тот, у которого количество столбцов можно разделить и на 2, и на 4. Сейчас мы рассмотри квадрат 4 на 4.

    Итак, как решить магический квадрат (3 класс, Демидова, Козлова, Тонких - задание в учебнике математики), когда количество его столбцов равно 4? А очень просто. Проще, чем в примере до этого.

    В первую очередь находим магическую константу по той же формуле, что приводилась в прошлый раз. В данном примере число равно 34. Теперь надо выстроить цифры так, чтобы сумма по вертикали, горизонтали и диагонали была одинаковой.

    В первую очередь надо закрасить некоторые ячейки, сделать это вы можете карандашом или же в воображении. Закрашиваем все углы, то есть верхнюю левую клеточку и верхнюю правую, нижнюю левую и нижнюю правую. Если квадрат был бы 8 на 8, то закрашивать надо не одну клеточку в углу, а четыре, размером 2 на 2.

    Теперь необходимо закрасить центр этого квадрата, так, чтобы его углы касались углов уже закрашенных клеточек. В данном примере у нас получится квадрат по центру 2 на 2.

    Приступаем к заполнению. Заполнять будем слева направо, в том порядке, в котором расположены ячейки, только вписывать значение будем в закрашенные клетки. Получается, что в верхний левый угол вписываем 1, в правый — 4. Потом центральный заполняем 6, 7 и дальше 10, 11. Нижний левый 13 и правый — 16. Думаем, порядок заполнения понятен.

    Остальные ячейки заполняем точно так же, только в порядке убывания. То есть так как последняя вписанная цифра была 16, то вверху квадрата пишем 15. Далее 14. Потом 12, 9 и так далее, как показано на картинке.

    Теперь вы знаете второй способ, как решить магический квадрат. 3 класс согласится, что квадрат двойной четности намного легче решается, чем другие. Ну а мы переходим к последнему способу.

    Третий способ. Для квадрата одинарной четности

    Квадратом одинарной четности называется, тот квадрат, число столбцов которого можно разделить на два, но нельзя на четыре. В данном случае это квадрат 6 на 6.

    Итак, вычисляем магическую константу. Она равна 111.

    Теперь нужно наш квадрат визуально поделить на четыре разных квадрата 3 на 3. Получится четыре маленьких квадрата размером 3 на 3 в одном большом 6 на 6. Верхний левый назовем А, нижний правый — В, верхний правый — С и нижний левый — D.

    Теперь необходимо каждый маленький квадрат решить, используя самый первый способ, что приведен в этой статье. Получится так, что в квадрате А будут числа от 1 до 9, в В — от 10 до 18, в С — от 19 до 27 и D — от 28 до 36.

    Как только вы решили все четыре квадрата, работа начнется над А и D. Необходимо в квадрате А визуально или при помощи карандаша выделить три ячейки, а именно: верхнюю левую, центральную и нижнюю левую. Получится так, что выделенные цифры — это 8, 5 и 4. Точно так же надо выделить и квадрат D (35, 33, 31). Все, что остается сделать, это поменять местами выделенные цифры из квадрата D в А.

    Теперь вы знаете последний способ, как можно решить магический квадрат. 3 класс квадрат одинарной четности не любит больше всего. И это неудивительно, из всех представленных он самый сложный.

    Вывод

    Прочтя данную статью, вы узнали, как решить магический квадрат. 3 класс (Моро - автор учебника) предлагает подобные задачи только с несколькими заполненными ячейками. Рассматривать его примеры нет смысла, так как зная все три способа, вы с легкостью решите и все предлагаемые задачи.

    Существует несколько различных классификаций магических квадратов

    пятого порядка, призванных хоть как-то их систематизировать. В книге

    Мартина Гарднера [ГМ90, сс. 244-345] описан один из таких способов –

    по числу в центральном квадрате. Способ любопытный, но не более того.

    Сколько существует квадратов шестого порядка, до сих пор неизвестно, но их примерно 1.77 х 1019 . Число огромное, поэтому нет никаких надежд пересчитать их с помощью полного перебора, а вот формулы для подсчёта магических квадратов никто придумать не смог.

    Как составить магический квадрат?

    Придумано очень много способов построения магических квадратов. Проще всего составлять магические квадраты нечётного порядка . Мы воспользуемся методом, который предложил французский учёный XVII века А. де ла Лубер (De La Loubère). Он основан на пяти правилах, действие которых мы рассмотрим на самом простом магическом квадрате 3 х 3 клетки.

    Правило 1. Поставьте 1 в среднюю колонку первой строки (Рис. 5.7).

    Рис. 5.7. Первое число

    Правило 2. Следующее число поставьте, если возможно в клетку, соседнюю с текущей по диагонали правее и выше (Рис. 5.8).

    Рис. 5.8. Пытаемся поставить второе число

    Правило 3. Если новая клетка выходит за пределы квадрата сверху , то запишите число в самую нижнюю строку и в следующую колонку (Рис. 5.9).

    Рис. 5.9. Ставим второе число

    Правило 4. Если клетка выходит за пределы квадрата справа , то запишите число в самую первую колонку и в предыдущую строку (Рис. 5.10).

    Рис. 5.10. Ставим третье число

    Правило 5. Если в клетке уже занята , то очередное число запишите под текущей клеткой (Рис. 5.11).

    Рис. 5.11. Ставим четвёртое число

    Рис. 5.12. Ставим пятое и шестое число

    Снова выполняйте Правила 3, 4, 5, пока не составите весь квадрат (Рис.

    Не правда ли, правила очень простые и понятные, но всё равно довольно утомительно расставлять даже 9 чисел. Однако, зная алгоритм построения магических квадратов, мы сможем легко перепоручить компьютеру всю рутинную работу, оставив себе только творческую, то есть написание программы.

    Рис. 5.13. Заполняем квадрат следующими числами

    Проект Магические квадраты (Magic)

    Набор полей для программы Магические квадраты совершенно очевиден:

    // ПРОГРАММА ДЛЯ ГЕНЕРИРОВАНИЯ

    // НЕЧЕТНЫХ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ

    // ПО МЕТОДУ ДЕ ЛА ЛУБЕРА

    public partial class Form1 : Form

    //макс. размеры квадрата: const int MAX_SIZE = 27; //var

    int n=0; // порядок квадрата int [,] mq; // магический квадрат

    int number=0; // текущее число для записи в квадрат

    int col=0; // текущая колонка int row=0; // текущая строка

    Метод де ла Лубера годится для составления нечётных квадратов любого размера, поэтому мы можем предоставить пользователю возможность самостоятельно выбирать порядок квадрата, разумно ограничив при этом свободу выбора 27-ью клетками.

    После того как пользователь нажмёт заветную кнопку btnGen Генерировать! , метод btnGen_Click создаёт массив для хранения чисел и переходит в метод generate :

    //НАЖИМАЕМ КНОПКУ "ГЕНЕРИРОВАТЬ"

    private void btnGen_Click(object sender, EventArgs e)

    //порядок квадрата:

    n = (int )udNum.Value;

    //создаем массив:

    mq = new int ;

    //генерируем магический квадрат: generate();

    lstRes.TopIndex = lstRes.Items.Count-27;

    Здесь мы начинаем действовать по правилам де ла Лубера и записываем первое число – единицу – в среднюю клетку первой строки квадрата (или массива, если угодно):

    //Генерируем магический квадрат void generate(){

    //первое число: number=1;

    //колонка для первого числа - средняя: col = n / 2 + 1;

    //строка для первого числа - первая: row=1;

    //заносим его в квадрат: mq= number;

    Теперь мы последовательно пристраиваем по клеткам остальные числа – от двойки до n * n:

    //переходим к следующему числу:

    Запоминаем на всякий случай координаты актуальной клетки

    int tc=col; int tr = row;

    и переходим в следующую клетку по диагонали:

    Проверяем выполнение третьего правила:

    if (row < 1) row= n;

    А затем четвёртого:

    if (col > n) { col=1;

    goto rule3;

    И пятого:

    if (mq != 0) { col=tc;

    row=tr+1; goto rule3;

    Как мы узнаем, что в клетке квадрата уже находится число? – Очень просто: мы предусмотрительно записали во все клетки нули , а числа в готовом квадрате больше нуля . Значит, по значению элемента массива мы сразу же определим, пустая клетка или уже с числом! Обратите внимание, что здесь нам понадобятся те координаты клетки, которые мы запомнили перед поиском клетки для следующего числа.

    Рано или поздно мы найдём подходящую клетку для числа и запишем его в соответствующую ячейку массива:

    //заносим его в квадрат: mq = number;

    Попробуйте иначе организовать проверку допустимости перехода в но-

    вую клетку!

    Если это число было последним , то программа свои обязанности выполнила, иначе она добровольно переходит к обеспечению клеткой следующего числа:

    //если выставлены не все числа, то if (number < n*n)

    //переходим к следующему числу: goto nextNumber;

    И вот квадрат готов! Вычисляем его магическую сумму и распечатываем на экране:

    } //generate()

    Напечатать элементы массива очень просто, но важно учесть выравнивание чисел разной «длины», ведь в квадрате могут быть одно-, дву- и трёхзначные числа:

    //Печатаем магический квадрат void writeMQ()

    lstRes.ForeColor = Color .Black;

    string s = "Магическая сумма = " + (n*n*n +n)/2; lstRes.Items.Add(s);

    lstRes.Items.Add("" );

    // печатаем магический квадрат: for (int i= 1; i<= n; ++i){

    s="" ;

    for (int j= 1; j <= n; ++j){

    if (n*n > 10 && mq < 10) s += " " ; if (n*n > 100 && mq < 100) s += " " ; s= s + mq + " " ;

    lstRes.Items.Add(s);

    lstRes.Items.Add("" ); }//writeMQ()

    Запускаем программу – квадраты получаются быстро и на загляденье (Рис.

    Рис. 5.14. Изрядный квадратище!

    В книге С.Гудман, С.Хидетниеми Введение в разработку и анализ алгорит-

    мов , на страницах 297-299 мы отыщем тот же самый алгоритм, но в «сокращённом» изложении. Он не столь «прозрачен», как наша версия, но работает верно.

    Добавим кнопку btnGen2 Генерировать 2! и запишем алгоритм на языке

    Си-шарп в метод btnGen2_Click :

    //Algorithm ODDMS

    private void btnGen2_Click(object sender, EventArgs e)

    //порядок квадрата: n = (int )udNum.Value;

    //создаем массив:

    mq = new int ;

    //генерируем магический квадрат: int row = 1;

    int col = (n+1)/2;

    for (int i = 1; i <= n * n; ++i)

    mq = i; if (i % n == 0)

    if (row == 1) row = n;

    if (col == n) col = 1;

    //построение квадрата закончено: writeMQ();

    lstRes.TopIndex = lstRes.Items.Count - 27;

    Кликаем кнопку и убеждаемся, что генерируются «наши» квадраты (Рис.

    Рис. 5.15. Старый алгоритм в новом обличии

    МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ

    Магический, или волшебный квадрат - это квадратная таблица, заполненная числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова.

    Сумма чисел в каждой строке, столбце и на диагоналях, называется магической константой, M.

    Наименьшая магическая константа волшебного квадрата 3х3 равна 15, квадрата 4х4 равна 34, квадрата 5х5 равна 65,

    Если в квадрате равны суммы чисел только в строках и столбцах, то он называется полумагическим.

    Построение волшебного квадрата 3 х 3 с наименьшей

    магической константой

    Найдём наименьшую магическую константу волше́бного квадрата 3х3

    1 способ

    1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1+9) + (2+8) + (3+7) + (4+6) + 5 = 45

    4
    5 : 3 = 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9

    М = 15.

    Число, записанное посередине 15 : 3 = 5

    Определили, что посередине, записано число 5.

    где n – число строк

    Если можешь построить один магический квадрат, то нетрудно построить их любое количество. Поэтому запомним приёмы построения

    магического квадрата 3х3 с константой 15.

    1 способ построения. Расставь сначала по углам чётные числа

    2,4,8,6 и посередине 5. Остальной процесс простая арифметика

    15 – 6 = 9; 15 – 14 = 1 15 – 8 = 7; 15 – 12 = 3

    2 способ решения

    Используя найденный волшебный квадрат с константой 15, можно задавать множество разноплановых заданий:

    Пример. Построить новые различные волшебные квадраты 3 х 3

    Решение.

    Сложив каждое число волшебного квадрата, или умножив его на одно и тоже число, получим новый волшебный квадрат.

    Пример 1. Построить магический квадрат 3 х 3, у которого число, расположенное посередине, равно 13.

    Решение.

    Построим знакомый волшебный

    квадрат с константой 15.

    Найдём число, которое находится в

    середине искомого квадрата

    13 – 5 = 8.

    К каждому числу волшебного

    квадрата прибавим по 8.

    Пример 2. Заполнить клетки волшебных

    квадратов, зная магическую константу.

    Решение. Найдём число,

    записанное посередине 42: 3 = 14

    42 – 34 = 8, 42 – 30 =12 42 – 20=22, 42 – 36=6 42–24=18, 42–32= 10

    задания для самостоятельного решения

    Примеры. 1. Заполнить клетки волшебных квадратов с магической

    константой М =15.

    1) 2) 3)

    2. Найди магическую константу волшебных квадратов.

    1) 2) 3)

    3. Заполнить клетки волшебных квадратов, зная магическую константу

    1) 2) 3)

    М = 24 М = 30 М = 27

    4 . Построить волшебный квадрат 3х3, зная, что магическая константа

    равна 21.

    Решение. Вспомним, как строится волшебный 3х3 квадрат по наименьшей

    константе 15. По крайним полям записываются чётные числа

    2, 4, 6, 8, а в середине число 5 (15: 3).

    По условию надо построить квадрат по магической константе

    21. В центре искомого квадрата должно быть число 7 (21: 3).

    Найдём, насколько больше каждый член искомого квадрата

    каждого члена с наименьшей магической константой 7 – 5 = 2.

    Строим искомый волшебный квадрат:

    21 – (4 + 6) = 11

    21 – (6 + 10) = 5

    21 – (8 + 10) = 3

    21 – (4 + 8) = 9

    4. Построить волшебные квадраты 3х3, зная их магические константы

    М = 42 М = 36 М = 33

    М = 45 М = 40 М = 35

    Построение волшебного квадрата 4 х 4 с наименьшей

    магической константой

    Найдём наименьшую магическую константу волше́бного квадрата 4х4

    и числа, расположенного посередине этого квадрата.

    1 способ

    1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 +13 +14 + 15 + 16 =

    (1+16)+(2+15)+(3+14)+(4+13)+(5+12)+ (6+11)+ (7+10)+(8+9) = 17 х 8 = 136

    136: 4= 34.

    где n – число строк n = 4.

    Сумма чисел на любой горизонтали,

    вертикали и диагонали равна 34.

    Эта сумма также встречается во всех

    угловых квадратах 2×2, в центральном

    квадрате (10+11+6+7), в квадрате из

    угловых клеток (16+13+4+1).

    Для построения любых волше́бных квадратов 4х4 надо: построить один

    с константой 34.

    Пример. Построить новые различные волшебные квадраты 4 х 4.

    Решение.

    Сложив каждое число найденного

    волшебного квадрата 4 х 4 или

    умножив его на одно и тоже число,

    получим новый волшебный квадрат.

    Пример. Построить магический

    квадрат 4 х 4, у которого магическая

    константа равна 46.

    Решение. Построили знакомый волшебный

    квадрат с константой 34.

    46 – 34 = 12. 12: 4 = 3

    К каждому числу волшебного квадрата

    прибавим по 3.

    Прежде чем приступить к решению более сложных примеров на волшебных квадратах 4 х 4 ещё раз проверь свойства, которыми он обладает, если М=34.

    Примеры. 1. Заполнить клетки волшебного квадрата с магической

    константой М =38.

    н =38-(10+7+13)=8 д =38-(17+4+11)=6 в =38-(17+4+14)=3

    е = 38-(12+7+8)=11 п =38-(17+6+10)=5 с =38-(3+12+8)=15

    б =38-(11+7+16)=4 г =38-(5+7+12)=14 к =38-(6+11+12)=9

    свойство 1,3,1 свойства 2,1,1 т =38-(14+9+13)=2

    свойства 1,1,1,1

    Ответ.

    Задания для самостоятельного решения

    Заполнить клетки волшебного квадрата с если известна магическая

    константа

    К = 46 К = 58 К = 62

    Познакомься с волшебными квадратами 5х5 и 6х6

    М = = =65. М = = = 111.

    Магический квадрат - древнекитайского происхождения.

    Согласно легенде, во времена правления императора Ю (ок. 2200 до н.э.) из вод Хуанхэ (Желтой реки) всплыла священная черепаха, на панцире которой были начертаны таинственные иероглифы (рис.а), и эти знаки известны под названием ло-шу и равносильны магическому квадрату, изображенному на рисунке б.

    В 11 в. о магических квадратах узнали в Индии, а затем в Японии, где в 16 в. магическим квадратам была посвящена обширная литература.

    Европейцев с магическими квадратами познакомил в 15 в. византийский писатель Э.Мосхопулос. Первым квадратом, придуманным европейцем, считается квадрат А. Дюрера, изображенный на его знаменитой гравюре Меланхолия 1. Дата создания гравюры (1514) указана числами, стоящими в двух центральных клетках нижней строки.


    Магическим квадратам приписывали различные мистические свойства. В 16 в. Корнелий Генрих Агриппа построил квадраты 3-го, 4-го, 5-го, 6-го, 7-го, 8-го и 9-го порядков, которые были связаны с астрологией 7 планет. Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы. Даже сегодня среди атрибутов европейских прорицателей можно увидеть магические квадраты.

    В 19 и 20 вв. интерес к магическим квадратам вспыхнул с новой силой. Их стали исследовать с помощью методов высшей алгебры и операционного исчисления. Каждый элемент магического квадрата называется клеткой. Квадрат, сторона которого состоит из n клеток, содержит n2 клеток и называется квадратом n-го порядка.

    В большинстве магических квадратов используются первые n последовательных натуральных чисел. Сумма S чисел, стоящих в каждой строке, каждом столбце и на любой диагонали, называется постоянной квадрата и равна S = n(n2 + 1)/2. Доказано, что n і 3. Для квадрата 3-го порядка S = 15, 4-го порядка - S = 34, 5-го порядка - S = 65.

    Две диагонали, проходящие через центр квадрата, называются главными диагоналями. Ломаной называется диагональ, которая, дойдя до края квадрата, продолжается параллельно первому отрезку от противоположного края (такую диагональ образуют заштрихованные клетки на рисунке).

    Клетки, симметричные относительно центра квадрата, называются кососимметричными. Таковы, например, клетки a и b.

    Правила построения магических квадратов делятся на три категории в зависимости от того, каков порядок квадрата: нечетен, равен удвоенному нечетному числу или равен учетверенному нечетному числу. Общий метод построения всех квадратов неизвестен , хотя широко применяются различные схемы, некоторые из которых мы рассмотрим ниже.

    Магические квадраты нечетного порядка можно построить с помощью метода французского геометра 17 в. А.де ла Лубера. Рассмотрим этот метод на примере квадрата 5-го порядка.

    Число 1 помещается в центральную клетку верхней строки. Все натуральные числа располагаются в естественном порядке циклически снизу вверх в клетках диагоналей справа налево. Дойдя до верхнего края квадрата (как в случае числа 1), продолжаем заполнять диагональ, начинающуюся от нижней клетки следующего столбца. Дойдя до правого края квадрата (число 3), продолжаем заполнять диагональ, идущую от левой клетки строкой выше. Дойдя до заполненной клетки (число 5) или угла (число 15), траектория спускается на одну клетку вниз, после чего процесс заполнения продолжается.

    Метод Ф. де ла Ира (1640-1718) основан на двух первоначальных квадратах. На рисунке показано, как с помощью этого метода строится квадрат 5-го порядка.

    В клетку первого квадрата вписываются числа от 1 до 5 так, что число 3 повторяется в клетках главной диагонали, идущей вправо вверх, и ни одно число не встречается дважды в одной строке или в одном столбце. То же самое мы проделываем с числами 0, 5, 10, 15, 20 с той лишь разницей, что число 10 теперь повторяется в клетках главной диагонали, идущей сверху вниз (рис.б). Поклеточная сумма этих двух квадратов (рис. в) образует магический квадрат. Этот метод используется и при построении квадратов четного порядка.

    Если известен способ построения квадратов порядка m и порядка n, то можно построить квадрат порядка mґn. Суть этого способа показана на рисунке.

    Здесь m = 3 и n = 3. Более крупный квадрат 3-го порядка (с числами, помеченными штрихами) строится методом де ла Лубера. В клетку с числом 1ў (центральную клетку верхнего ряда) вписывается квадрат 3-го порядка из чисел от 1 до 9, также построенный методом де ла Лубера. В клетку с числом 2ў (правую в нижней строке) вписывается квадрат 3-го порядка с числами от 10 до 18; в клетку с числом 3ў - квадрат из чисел от 19 до 27 и т.д. В результате мы получим квадрат 9-го порядка. Такие квадраты называются составными.